Zahlentheorie - Beweis Eulersche-Phi-Funktion und n-te Primzahl

07.11.2018, 14:20

InaAldi

Zahlentheorie - Beweis Eulersche-Phi-Funktion und n-te Primzahl

Hallo!

Es soll folgendes gezeigt werden, wobei ich nicht mal weiß, wie ich ansetzen soll:

$\begin{eqnarray*} \frac{phi\left(p_{n} !\right) }{p_{n}!} \cdot \frac{p_{n- 1}}{phi\left(p_{n- 1}!\right) } = 1- \frac{1}{p_{n}} \end{eqnarray*}$

Kann mir einer dabei weiterhelfen?

Danke, Ina

07.11.2018, 14:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von InaAldi
$\begin{eqnarray*} \frac{phi\left(p_{n} !\right) }{p_{n}!} \cdot \frac{p_{n- 1}}{phi\left(p_{n- 1}!\right) } = 1- \frac{1}{p_{n}} \end{eqnarray*}$

Hier fehlt offensichtlich ein Fakultätszeichen im Zähler des zweiten Terms, d.h.,

$\begin{eqnarray*} \frac{\varphi\left(p_{n} !\right) }{p_{n}!} \cdot \frac{p_{n- 1}{\color{red}!}}{\varphi\left(p_{n- 1}!\right) } = 1- \frac{1}{p_{n}} \end{eqnarray*}$ .

Zum Beweis: Aus den Eigenschaften der Eulerschen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ -Funktion folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} \frac{\varphi(m)}{m} = \prod_{p\mid m} \left(1-\frac{1}{p}\right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. das Produkt rechts läuft über alle Primteiler $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ der Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Nun enthält $\begin{eqnarray*} p_n! \end{eqnarray*}$ als Primteiler genau alle Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots,p_n \end{eqnarray*}$ , aus (*) folgt somit

$\begin{eqnarray*} \frac{\varphi(p_n!)}{p_n!} = \prod_{k=1}^n \left(1-\frac{1}{p_k}\right) \end{eqnarray*}$ ,

der Rest ist ein Klacks.

07.11.2018, 14:46

InaAldi

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Vielen Dank! Wink

Da ich mehrere Wochen krank war, muss ich leider einiges aufholen, ohne die Vorlesungsunterlagen. Da ist es echt super, Hilfe aus dem Forum zu haben! Freude

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