Borel-messbar

07.11.2018, 15:39

Statista

Borel-messbar

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} Y: \mathbb{R} -> \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist Borel-messbar

Meine Ideen:
Ich weiß nicht genau, wofür ich die Stetigkeit hier brauche. Wenn ich eine beliebige Teilmenge $\begin{eqnarray*} U \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nehme, dann gilt doch dass $\begin{eqnarray*} Y^{-1} (U) \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist. Doch jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist auch in der Borel-Sigma-Algebra.
Also nehme ich ein beliebiges Urbild, dieses ist etweder offen, dann ist es in der Borel-Sigma-Algebra oder es ist abgeschlossen, dann ist es in der Borel-Sigma-Algebra, weil das Komplement offen ist oder es ist weder abgeschlossen noch offen, dann ist es eine Vereinigung von abgeschlossenen und offenen Mengen, doch diese sind in der Borel-sigma-Algebra, also ist auch die Vereinigung in der Borel-Sigma-Algebra.

07.11.2018, 15:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Statista
Doch jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist auch in der Borel-Sigma-Algebra.

Schwerer Irrtum. unglücklich

Wenn das so wäre, könnte man ja auch gleich "Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ " sagen, was die Borel-Sigma-Algebra aber nicht ist.

Zitat:

Original von Statista
oder es ist weder abgeschlossen noch offen, dann ist es eine Vereinigung von abgeschlossenen und offenen Mengen, doch diese sind in der Borel-sigma-Algebra,

Es mag zwar stimmen, dass eine beliebige Teilmenge $\begin{eqnarray*} V\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ darstellbar ist als Vereinigung von abgeschlossenen Mengen, z.B. schlicht über $\begin{eqnarray*} V = \bigcup_{x\in V} \{x\} \end{eqnarray*}$ . Aber für den Schluss

Zitat:

Original von Statista
also ist auch die Vereinigung in der Borel-Sigma-Algebra.

brauchst du die Eigenschaft, dass diese Vereinigung nur höchstens abzählbar ist. Und da liegt der Hase im Pfeffer - das gelingt dir nämlich nicht für jedes $\begin{eqnarray*} V\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

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