Borel-messbar

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Statista Auf diesen Beitrag antworten »
Borel-messbar
Meine Frage:
Sei stetig. Zeigen Sie: ist Borel-messbar

Meine Ideen:
Ich weiß nicht genau, wofür ich die Stetigkeit hier brauche. Wenn ich eine beliebige Teilmenge nehme, dann gilt doch dass ist. Doch jede Teilmenge von ist auch in der Borel-Sigma-Algebra.
Also nehme ich ein beliebiges Urbild, dieses ist etweder offen, dann ist es in der Borel-Sigma-Algebra oder es ist abgeschlossen, dann ist es in der Borel-Sigma-Algebra, weil das Komplement offen ist oder es ist weder abgeschlossen noch offen, dann ist es eine Vereinigung von abgeschlossenen und offenen Mengen, doch diese sind in der Borel-sigma-Algebra, also ist auch die Vereinigung in der Borel-Sigma-Algebra.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Statista
Doch jede Teilmenge von ist auch in der Borel-Sigma-Algebra.

Schwerer Irrtum. unglücklich

Wenn das so wäre, könnte man ja auch gleich "Potenzmenge von " sagen, was die Borel-Sigma-Algebra aber nicht ist.


Zitat:
Original von Statista
oder es ist weder abgeschlossen noch offen, dann ist es eine Vereinigung von abgeschlossenen und offenen Mengen, doch diese sind in der Borel-sigma-Algebra,

Es mag zwar stimmen, dass eine beliebige Teilmenge darstellbar ist als Vereinigung von abgeschlossenen Mengen, z.B. schlicht über . Aber für den Schluss

Zitat:
Original von Statista
also ist auch die Vereinigung in der Borel-Sigma-Algebra.

brauchst du die Eigenschaft, dass diese Vereinigung nur höchstens abzählbar ist. Und da liegt der Hase im Pfeffer - das gelingt dir nämlich nicht für jedes . unglücklich
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