Partialbruchzerlegung

08.11.2018, 16:54	xMathematicsx	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung Meine Frage: Hallo, zu bestimmen ist die Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wir behandeln momentan Mittag Leffler Verteilungen und nehme an , dass man es durch die Hauptteile bestimmen muss.. Wir haben auch ein gewisses Schema ,nachdem wir vorgehen sollten: [attach]48288[/attach] , wobei S die menge der Polstellen Was ich mir überlegt habe..wir kennen schon die Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray} \pi \cot(\pi z)= \frac{1}{z} + \sum_{n \in \mathbb{Z} \setminus \left \{ 0 \right \}}^{ } (\frac{1}{z-n} + \frac{1}{n}) \forall z \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ und evtl. bräuchten wir die Beziehung $\begin{eqnarray} \frac{z}{\sin(z)} = z\cot(\frac{z}{2})-z\cot(z) \end{eqnarray}$ So, mein Problem ist , dass ich Schwierigkeiten habe, den Zusammenhang mir klar zu machen bzw. nicht weiß wie ich bei solchen Aufgaben vorzugehen habe.. Die Menge der Polstellen ist hier offensichtlich nur die Ganzen zahlen bestimmt.. Nach Recherche habe ich gefunden, dass die Partialbruchzerlegung geg. ist mittels: $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac{1}{z} + 2z \sum_{i=1}^{\infty} (-1)^i * \frac{1}{z^2-i^2} \end{eqnarray*}$ Ich hoffe jemand kann mir helfen, auf diese Darstelung zu kommen. LG
10.11.2018, 09:06	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung Zur Aufgabe selbst kann ich nichts beitragen. Aber die Partialbruchzerlegung des Sinus lässt sich aus den Beziehungen, die dir bekannt bekannt sind, einfach herleiten. Man hat $\begin{eqnarray} \pi \cot(\pi z)= \frac{1}{z} + \sum_{n \in \mathbb{Z} \setminus \left \{ 0 \right \}}^{ } (\frac{1}{z-n} + \frac{1}{n}) =\frac 1 z +2z \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1 {z^2-n^2} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \pi \cot (\pi \frac z 2)=\frac 2 z +4z\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1 {z^2-(2n)^2} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1 {z^2-n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac 1 {z^2-(2n)^2}+\frac 1 {z^2-(2n-1)^2}\right ) \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} \pi \cot (\pi \frac z 2) -\pi \cot (\pi z) =\frac 1 z+2z\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac 1 {z^2-(2n)^2}-\frac 1 {z^2-(2n-1)^2}\right )=\frac 1 z+2z\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac 1 {z^2-n^2} \end{eqnarray}$ q.e.d.

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