Zeige Gruppe G ist auflösbar.

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Sascha069 Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige Gruppe G ist auflösbar.
Meine Frage:
Nabend Ihr!

Ich versuche mich gerade an folgender Fragestellung:
Sei G eine endliche Gruppe. Angenommen zu jedem Primfaktor p von |G| gibt es eine p-Sylow-Gruppe G(p), welche ein Normalteiler von G ist. Zeige das G dann auflösbar ist.



Erstmal ein paar Fakten:
G ist also der Ordnung
Die p-Sylow-gruppen sind per Definition Untergruppen von G und deren Ordnung teilt die Ordnung von G (Lagrange) also

Zur Auflösbarkeit haben wir nun 2 verschiedene Definitionen im Skript:
1) Gruppe G auflösbar, wenn endliche Reihe Untergruppen Gi existieren mit Normalteiler in und abelsch für alle i = 1 ,..., m.

2) G auflösbar genau dann wenn es ein n>=0 gibt mit




Meine Ideen:
Daher das ich jetzt schon die ganzen Normalteiler laut Aufgabenstellung gegeben habe, würde ich behaupten die Definition von 1 nachzuweisen ist hier sinniger.

Dazu müsste ich jetzt jedoch noch zeigen dass:
1) für alle i = 1,...,m.
2) Normalteiler in für alle i = 1 ,..., m.
3) abelsch für alle i = 1 ,..., m.


Zu 1) stellt sich mir aber schon die Frage ob das überhaupt möglich sein kann, da für zwei Primzahlen p,q mit p<q doch nicht allgemein gilt oder bin ich hier auf dem komplett falschen Weg?
Würde mich sehr über ein paar Tipps oder Hinweise freuen. smile


Gruß
Sascha
Sascha069 Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner ein Tipp für mich parat ? unglücklich
 
 
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