Zeige Gruppe G ist auflösbar.

08.11.2018, 19:32	Sascha069	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige Gruppe G ist auflösbar. Meine Frage: Nabend Ihr! Ich versuche mich gerade an folgender Fragestellung: Sei G eine endliche Gruppe. Angenommen zu jedem Primfaktor p von \|G\| gibt es eine p-Sylow-Gruppe G(p), welche ein Normalteiler von G ist. Zeige das G dann auflösbar ist. Erstmal ein paar Fakten: G ist also der Ordnung $\begin{eqnarray} \|G\| = \prod\limits_{k=1}^{n} p_{i}^{n_{i} } = m \end{eqnarray}$ Die p-Sylow-gruppen sind per Definition Untergruppen von G und deren Ordnung teilt die Ordnung von G (Lagrange) also $\begin{eqnarray} \|G(p_{i})\| = p_{i}^{n_{i}} \end{eqnarray}$ Zur Auflösbarkeit haben wir nun 2 verschiedene Definitionen im Skript: 1) Gruppe G auflösbar, wenn endliche Reihe Untergruppen Gi existieren $\begin{eqnarray} \left\{ e_{G} \right\} = G_{m} \subset G_{m-1} \subset ... \subset G_{1} \subset G_{0} = G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} G_{i} \end{eqnarray}$ Normalteiler in $\begin{eqnarray} G_{i-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G_{i-1} / G_{i} \end{eqnarray}$ abelsch für alle i = 1 ,..., m. 2) G auflösbar genau dann wenn es ein n>=0 gibt mit $\begin{eqnarray} G^{(m)} = \left\{ e_{G} \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Daher das ich jetzt schon die ganzen Normalteiler laut Aufgabenstellung gegeben habe, würde ich behaupten die Definition von 1 nachzuweisen ist hier sinniger. Dazu müsste ich jetzt jedoch noch zeigen dass: 1) $\begin{eqnarray} G(p_{i}) \subset G(p_{i-1}) \end{eqnarray}$ für alle i = 1,...,m. 2) $\begin{eqnarray} G(p_{i}) \end{eqnarray}$ Normalteiler in $\begin{eqnarray} G(p_{i-1}) \end{eqnarray}$ für alle i = 1 ,..., m. 3) $\begin{eqnarray} G_{i-1} / G_{i} \end{eqnarray}$ abelsch für alle i = 1 ,..., m. Zu 1) stellt sich mir aber schon die Frage ob das überhaupt möglich sein kann, da für zwei Primzahlen p,q mit p<q doch nicht allgemein gilt $\begin{eqnarray} G(p) \subset G(q) \end{eqnarray}$ oder bin ich hier auf dem komplett falschen Weg? Würde mich sehr über ein paar Tipps oder Hinweise freuen. Gruß Sascha
10.11.2018, 12:57	Sascha069	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner ein Tipp für mich parat ?

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