Untervektorräume beweisen

08.11.2018, 22:09	erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume beweisen Hallo zusammen, wir sind nun bereits bei dem Thema Vektorräume und Untervektorräume angelangt. Hier hätte ich noch einmal eine Aufgabe, bei der ich um eure Unterstützung bitten möchte, um zu sehen, ob das Vorgehen korrekt ist. Vorab ein ganz herzliches Dankeschön an alle freiwilligen Unterstützer Es ist eine Teilmenge $\begin{eqnarray} U_{1}\subset V=R^{3} \end{eqnarray}$ gegeben. Zu prüfen ist, ob diese Teilmenge ein Untervektorraum ist. $\begin{eqnarray} U_{1}=\left\{ (x,y,z) \|x<0\right\} \end{eqnarray}$ Lösung: Ich verwende folgendes Lemma: Ist $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ Vektorraum. Eine nicht-leere Teilmenge $\begin{eqnarray} U_{1}\subset V \end{eqnarray}$ ist ein UVR (Untervektorraum) , wenn für zwei beliebige Vektoren $\begin{eqnarray} a,b\in U_{1} \end{eqnarray}$ und für alle Skalare $\begin{eqnarray} \lambda \in R \end{eqnarray}$ die Teilmenge bzgl. der Vektoraddition uns Skalarmultiplikation abgeschlossen ist: $\begin{eqnarray} a,b \in U_{1} \Rightarrow a+\lambda\cdot b \in U_{1} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} V=R^{3} \end{eqnarray}$ Vektorraum und $\begin{eqnarray} \lambda \in R \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} U_{1}=\left\{ (x,y,z) \|x<0\right\} \subset V \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} U_{1}\neq\left\{\right\} \end{eqnarray}$ . Für zwei beliebige Vektoren $\begin{eqnarray} a,b\in U_{1} \end{eqnarray}$ wird gefordert, dass deren 1.KOmponente jeweils wegen Bedingung $\begin{eqnarray} (x,y,z)\|x<0 \end{eqnarray}$ kleiner 0 ist , d.h. $\begin{eqnarray} x_{1}<0,x_{2}<0 \end{eqnarray}$ folglich muss auch die 1.Komponente von $\begin{eqnarray} a+\lambda\cdot b<0 \end{eqnarray}$ . Dies ist der Fall, wenn $\begin{eqnarray} \Lambda>=0 \end{eqnarray}$ . Ist 1.Komponente von a,b also $\begin{eqnarray} x_{1}=x_{2}, \lambda = -1 \in R \end{eqnarray}$ , so ist die erste Komponente der Vektoraddition $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und folglich ist $\begin{eqnarray} U_{1} \end{eqnarray}$ kein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ Habt ihr eine Idee, wo mein Denkfehler liegt? Viele Grüße erstsemester
08.11.2018, 22:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenfrage: Wieso gehst Du von einem Denkfehler aus? Du hast das wesentliche zur Begründung benutzt, nur hast Du einen sehr langen Weg beschritten. Ein einfaches Gegenbeispiel reicht völlig aus, da muss man nicht lange Definitionen zitieren. Da $\begin{eqnarray} \vec{0} \not \in U_1 \end{eqnarray}$ kann $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ kein UVR sein und fertig.
09.11.2018, 21:37	erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja eine implizite Darstellung gegeben. So war die Annahme mit dieser auch die Beweisführung auszugestalten. Du hast Recht. Ein explizites Gegenbeispiel kürzt den Beweis auf ein Minimum zusammen.
09.11.2018, 23:42	erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
ich möchte gerne mit euch folgende weitere Teilmengen hinsichtlich der Untervektorraum-Eigenschaft diskutieren. $\begin{eqnarray} <br /> U_2=\left\{(x,y,z)\|xy=z\right\} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> U_3=\left\{(x,y,z)\|2x+3y=-z\right\} <br /> \end{eqnarray}$ Zu meinen Lösungsansätzen. Dieses Mal mit Gegenbeispielen: zu $\begin{eqnarray} U_{2} \end{eqnarray}$ : ist ein UVR, wenn NUllvektor und für zwei beliebige Vektoren $\begin{eqnarray} a,b\in R \Rightarrow a+\Lambda\cdot b \in U_{2} \end{eqnarray}$ . Die Addition der beliebig gewählten Vektoren, welche die Bedingung erfüllen (1 2 2 ) und (2 4 8) --> (3 6 10) nicht in $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ Also U2 ist kein UVR. $\begin{eqnarray} U_3=\left\{(x,y,z)\|2x+3y=-z\right\} \end{eqnarray}$ ist wegen homogener Gleichung eine UVR.
10.11.2018, 00:15	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
U2: Ist richtig, aber warum nicht ein einfacheres Beispiel? (1,0,0) und (0,1,0) hätten es doch auch getan, oder zweimal der Vektor (1,1,1) U3: Ist richtig, sofern ihr in der Vorlesung schon bewiesen habt, dass die Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems einen Vektorraum bildet (Was aber die Aufgabe ziemlich witzlos machen würde).
10.11.2018, 20:19	erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wir haben in der Vorlesung bereits bewiesen, dass die Lösung eines linearen homogenen Gleichungssystems ein Untervektorraum ist. Eine kleine Verständnisfrage habe ich allerdings noch: Definiere ich $\begin{eqnarray} V=R^3 \end{eqnarray}$ als Vektorraum und $\begin{eqnarray} U\subset V=R^3 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} K=R \end{eqnarray}$ sei der Körper der reellen Zahlen. Eine äußere Verknüpfung $\begin{eqnarray} K x U --> U, \Lambda --> \Lambda (a,b) \end{eqnarray}$ vererbt die Eigenschaften der reellen Zahlen auf das Skalarprodukt. Wähle ich nun z.B. [latex} \lambda=\sqrt{2}[/latex] liegt diese Zahl durchaus in den reellen Zahlen. Durch die äußere Verknüpfung ist dann doch das Skalarprodukt mit den Eigenschaften der irrationalen Zahlen ausgestattet?
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10.11.2018, 22:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann Dir gerade nicht ganz folgen. Bei der von Dir zitierten Definition des äußeren Produkts ist $\begin{eqnarray} \Lambda \in \ K \times U \end{eqnarray}$ , was für $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ nicht zutrifft, sowie $\begin{eqnarray} \Lambda(a,b) \in U \end{eqnarray}$ . Das lässt vermuten, dass Du $\begin{eqnarray} \Lambda \end{eqnarray}$ als Funktion von $\begin{eqnarray} K \times U \rightarrow U \end{eqnarray}$ ansiehst, was aber $\begin{eqnarray} \Lambda \in \ K \times U \end{eqnarray}$ widerspricht. Könntest Du etwas mehr Licht in die Angelegenheit bringen?
15.11.2018, 20:50	erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
@Helferlein: Sry für die etwas verspätetet Antwort. Für eine Teilmenge $\begin{eqnarray} U={{(x,y,z)\| x\in \mathbb{Q} }} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} V=\mathbb{R^3} \end{eqnarray}$ Vektorraum und $\begin{eqnarray} K=\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Sei also $\begin{eqnarray} UxV \rightarrow U , KxU\rightarrow \lambda \rightarrow \mathbb{R}\cdot u_{1} \end{eqnarray}$ Wenn nun zu zeigen ist, ob es sich um einen Untervektorraum handelt, so kann man sagen, dass dies nicht zutrifft. Begründung ist, dass für $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb{R} = \sqrt{2}\ \end{eqnarray}$ die Skalarmultiplikation nicht mehr in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sondern in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ liegt. Darauf wollte ich in meinem letzten post hinaus, dass die Skalarmultiplikation mit einem Skalar aus der Obermenge nicht mehr zwangsläufig in dieser liegen muss, da mit der äußeren Verknüpfung auch die Eigenschaften dieses Skalares übertragen werden. In diesem Falle also die Eigenschaften der irrationalen Zahlen.

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