Berechnen eines Parameters aus einer (bedingten) Wahrscheinlichkeit

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Berechnen eines Parameters aus einer (bedingten) Wahrscheinlichkeit
Gegeben sind die ZV (nicht notwendigerweise voneinander unabhängig) und (unabhängig von ) mit allen Verteilungen. Gesucht ist nun ein , mit dem



erfüllt ist bei gegebenem .


Fall 1: sind nicht realisiert: dann ist nach geeigneter Transformation ,

,
,
,

und eine feste Zahl.

Fall 2: wurde realisiert und gemessen, dann kann ich mit wieder eine Zahl aus






berechnen.

Fall 3, der mich eigenlich interessiert: es wird angenommen, dass später gemessen werden kann, und erst festgelegt werden muss, wenn ein tatsächlicher Wert (aber nicht ) feststeht. Jetzt ist aber der konkrete Wert nicht bekannt. Wie ist dann verteilt (ist dann überhaupt eine Zufallsvariable?)?


Mein Ansatz 1: ich tue analog Fall 2 so als ob gegeben wäre, und setzte zum Schluss jede Möglichkeit inkl. ihrer Wahrscheinlichkeit für ein:

,
.

Mein Ansatz 2: mit der bedingten Wahrscheinlichkeit und einem nach Fall 2 lautet die Gleichung



...

Auch wenn man das jetzt prinzipell nach (welches dann aber weder als ZV noch als Dichtefunktion dasteht) auflösen könnte schaut das jetzt schon falsch aus.

Bitte um Tipps oder Hinweise zu meinem Denkfehler bzw. falschen Annahmen. Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In Fall 1 rechnest du korrekt durch.

In Fall 2 setzt du an, benutzt in der weiteren Rechnung dabei aber

,

was im letzten Schritt falsch ist: Das gilt nur, wenn und unabhängig sind - was angesichts deines "nicht notwendigerweise voneinander unabhängig" i.a. nicht stimmt. unglücklich


In Fall 3 verstehe ich komplett deine Intentionen nicht: "Erst später gemessen" heißt für mich, in dem Moment unbekannt, was für mich einfach wieder nur Fall 1 ist. Und plötzlich zur Zufallsvariable umdekorieren zu wollen, das klingt für mich ziemlich unseriös. Irgendwas scheint in der Modellierung auf Sand gebaut.
 
 
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Danke erstmal für die Antwort! Wie du schon gemerkt hast fällt es mir nicht ganz leicht die Frage zu formulieren. Ich versuche daher erstmal an weiter vereinfachtem Bsp. ähnlich Fall 2 klarzumachen was ich nicht verstehe (mir selbst vor allem Augenzwinkern ).

Mit den oben gegebenen inkl. Voraussetzungen suche ich die Wahrscheinlichkeit

,

allerdings ohne einen konkreten Wert für einzusetzen, d.h. es wird sich ein ergeben?






Aus der letzten Beziehung kann man jetzt bei gegebenem entweder ein oder umgekehrt bei gegebenem ein bestimmen.

Ist dieser Rechenweg korrekt? Kann im Fall vom gegebenen dann als Zufallsvariable aufgefasst werden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso Zufallsvariable? Wenn du tatsächlich eine Funktion findest mit konstanten

,

dann ist das eben eine reelle Funktion , aber doch keine Zufallsgröße . Insofern verstehe ich nicht, was du meinst bzw. damit beabsichtigst.
Likelike Auf diesen Beitrag antworten »

Dass so wie beschrieben keine Zufallsgröße sondern eine normale Funktion ist hätte ich mir eigentlich selbst beantworten können, da habe ich vorschnell gefragt.

Worum es mir eigentlich geht, und was ich auch unter Fall 3 beschreiben wollte, ist, welche Verteilung von erhalte ich, wenn ich in meiner Funktion die Variable wieder als ZV annehme?

Simulieren würde man das (ausgehend von , zu bestimmen, ) so:

Schleife über :
1. Ziehe ein zufälliges .
2. Berechne aus einen Wert zum vorhin gezogenen .

Welche Verteilung haben dann alle so ermittelten zusammen? Darf (muss) ich da von der vorhin ermittelten Funktion zu übergehen und eben entsprechend transformieren?
Likelike Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Darf (muss) ich da von der vorhin ermittelten Funktion zu übergehen und eben entsprechend transformieren?


Der Funktionsname ist schlecht gewählt. Ich schreibe lieber mit der Funktion, die ich aus zumindest implizit erhalte.

Siehst du HAL oder jemand anders eine einfache Möglichkeit an die Verteilung von zu kommen? Zuerst die ZV mittels bedingter Wahrscheinlichkeit zu zu machen, dann eine Funktion zu bestimmen, und zum Schluss wieder zu setzen, erscheint mir wie mit der Kirche ums Kreuz zu fahren. Aber vielleicht gibts da ja keinen direkteren Weg?
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