Nicht euklidischer Ring

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jenni1151 Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht euklidischer Ring
Meine Frage:
z.z: Ring ist nicht euklidisch.

Meine Ideen:
Es reicht ja zu zeigen, dass der Ring nicht faktoriell ist:
Also reicht ja zu zeigen, dass es ein irreduzibles Element in dem Ring gibt, dass nicht prim ist.
Als Hinweis habe ich:


Ich habe gezeigt, dass , also ist 9 irreduzibel und ich müsste nur noch zeigen, dass 9 nicht prim ist. Aber also ist es doch schon prim..
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist offensichtlich reduzibel, denn wir haben ja hier 2 Zerlegungen der 9. Irreduzibel und nicht prim kannst du nun von den Faktoren der 9 zeigen, wenn du es nicht schon siehst. Übrigens ist 9 kein Teiler seiner Teiler, sondern die Teiler von 9 teilen 9.
jenni1151 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja dann muss 9 wohl eine Einheit sein, weil irreduzibilität per definition zeigen ist finde ich gar nicht so einfach, denn das Element muss aus dem Ring kommen aber keine Einheit oder 0 sein und dann als Produkt von mindestens einer Einheit darstellbar sein. Das ist bei der 9 ja erfüllt, dann muss 9 wohl schon eine Einheit selber sein.
Wie zeige ich dann Irreduzibilität per Definition?
Bei prim müsste ich nach Definiton eigentlich zeigen, dass für alle (!) Elemente aus dem Ring gilt das wenn a|bc folgt das a teilt nicht b und a teilt nicht c verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

du bist immer noch auf dem falschen Trip. unglücklich ist eine glasklare Zerlegung der in zwei Faktoren, das geht doch schon in ganzen Zahlen so. teilt , also hat Teiler, also ist reduzibel, anders gesagt ist nicht irreduzibel. Eine Einheit ist schon überhaupt gar nicht, denn sonst müsste ein Teiler der sein, also in diesem Ring. Was soll denn sein ? geht gar nicht, oder ist mit ganzen Zahlen und ? Stell dir mal das Gitter in den komplexen Zahlen vor, da kommst du nie in die Nähe der .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit klar ? Hast du jetzt verstanden, was hier reduzibel und nicht reduzibel, Teiler und Produkt, Einheit und Nichteinheit ist ?
Ich wünsche mir einen Dialog --- Selbstgespräche sind langweilig.
Brauchst du noch einen konstruktiven Hinweis für das weitere Vorgehen ?
jenni1151 Auf diesen Beitrag antworten »

Insofern verstehe ich Irreduzibilität aufjeden Fall! Das ist mir alles klar! Ich versuche das nur dann auch an der Definition zu verstehen und da verstehe ich es eben noch nicht.. ich möchte es eben lieber so mit der Definition zeigen.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau möchtest du verstehen ?
Ein Element eines Ringes heißt irreduzibel, wenn es nicht das Produkt von 2 Elementen ist.
ist das Produkt von 2 Elementen, also reduzibel. haben die Chance, irreduzibel zu sein - Beweis ?

Wenn diese Zahlen irreduzibel sind, haben wir 2 verschiedene Zerlegungen der 9, also ist der Ring nicht faktoriell, also kein Hauptidealring, also nicht euklidisch.
Ganz nebenbei kannst du beweisen, dass nicht prim sind, denn das ist (per Definition) offensichtlich.
jenni1151 Auf diesen Beitrag antworten »

Also: Wir müssen ja nur noch zeigen, dass 3 Irreduzibel ist und da dann gilt dann gilt offensichtlich, dass aber 3 teilt nicht die einzelnen Faktoren in
, denn aber 2/3 ist nicht in .
Soweit richtig oder?
Habe gerade einen Fehler in meiner Definition gefunden, deshalb war ich verwirrt.
Müssen wir zwingend zeigen, dass irreduzibel sind? Wir brauchen ja nur ein irreduzibles Element finden, welches nicht prim ist (3).
Def: 3 irred. wenn Da muss man jetzt nur eine Darstellung 3=ab finden für die dann gilt das a oder b eine Einheit ist oder? Da müsste ich dann eben noch schauen wenn man formal zeigen will, dass 3 irreduzibel ist..
Vielleicht kannst du auf jede Frage einmal kurz eingehen, das sind jetzt noch jene die ich mir stelle.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bist du auf der richtigen Spur. Du weißt, dass 3 das Produkt aber keinen Faktor teilt, also ist 3 nicht prim.

Noch zu zeigen ist, dass 3 irreduzibel ist. Das geht mit einem Beweis durch Widerspruch. Für die anderen Faktoren ebenso.

(Man kann auch mit der Norm argumentieren, wenn man die Definition kennt.)
jenni1151 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich annehme, dass 3 reduzibel ist habe ich ja, dass aus 3=ab folgt das a und b keine Einheiten sind, also brauche ich jetzt eine Darstellung von 3 für die aber gilt, dass a oder b eine Einheit ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

damit kommst du leider nicht weiter.
Wenn du zeigen willst, dass irreduzibel ist, musst du annehmen, es sei . Daraus ergeben sich 2 Gleichungen in , von denen du zeigen musst, dass sie in ganzen Zahlen nicht erfüllbar sind. Wenn du das nicht schaffst, versuche folgendes:
Wenn die Norm noch nicht bekannt ist, musst du sie erfinden. Setze . Beweise . Dann nimmst du an , dann ist , und das führt dich vielleicht auf die Lösung des Problems. (trivial sieht das auch nicht aus, wie ich zugeben muss).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Wort zur Erklärung. Im Ring der ganzen Zahlen gilt z.B. , ist also reduzibel, hat mindestens verschiedene Zerlegungen, und man sieht nicht sofort, ob die Zahlen reduzibel oder prim sind oder nicht. Wir wissen aus der Schule, dass und gilt, und dass die eindeutige Primzerlegung im faktoriellen Ring ist. Was würden wir tun, wenn wir das nicht wüssten ? Wir müssten beweisen, dass und irreduzibel und prim sind und dass reduzibel und nicht prim sind.

Genau in der Situation bist du jetzt. Du hast die 2 verschiedenen Zerlegungen und sollst beweisen, dass die Faktoren irreduzibel und nicht prim sind.
jenni1151 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich find es relativ schwierig, rigoros zu zeigen, dass die Gleichung in den ganzen Zahlen nicht lösbar ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist nicht einfach. Wie weit kommst du ? Ich glaube, mit der Norm ist es einfacher, deshalb habe ich gesagt, wie man da vorgeht.
Eventuell hilft auch die Geometrie weiter. Skizziere das Gitter und reduziere das Problem auf ein endliches Problem. Bedenke, dass die Beträge von komplexen Zahlen bei der Multiplikation multipliziert werden. Die Produkte werden also sehr schnell größer, wenn man Faktoren mit größeren Beträgen hat.
jenni1151 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich komme ich nur dahin, dass 3=ac+i*5^(0.5)*ad +i*5^(0.5)*bc-5bd indem ich aufgelöst habe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Annahme: ist reduzibel, also nicht irreduzibel, dann ist , also

Keine Ahnung, wie es dann weitergeht. Deshalb besser mit Norm .

Annahme: ist reduzibel, also nicht irreduzibel, dann ist , also , also . Norm , dann ist der Teiler eine Einheit, Norm , dann ist der Komplementärteiler eine Einheit.
Jetzt fällt mir im Moment nur Kongruenzrechnung modulo 5 ein (vermutlich geht's auch einfacher)

Widerspruch.
Selbige Argumentation für Teiler von ?

So ähnlich weist man die Irreduzibilität aller 4 Teiler der 9 nach.
(Uff, ächz und stöhn ...) Die geometrische Methode schmeckt mir besser.
jenni1151 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wieso muss ich das ganze aber für alle Teiler der 9 machen? Ich habe doch jetzt mit der 3 eine irreduzibles Element gefunden, was nicht prim ist. Das ist doch das was wir zeigen wollten.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht. Ein Integritätsbereich heißt faktoriell, wenn jedes von 0 verschiedene Element bis auf Assoziiertheit und Reihenfolge eindeutig in irreduzible Elemente zerlegt wird. Mit prim oder nicht prim hat das nichts zu tun. Woher weißt du, dass die Zerlegung in irreduzible Elemente nicht eindeutig ist, wenn du nicht weißt, dass die andere Zerlegung aus irreduziblen Elementen besteht ?
jenni1151 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Aussage bezieht sich auf einen Satz den wir haben, dafür brauchen wir allerdings, dass jedes Element bis auf die 0 eine Zerlegung in irred. Faktoren hat. Ich denke diese Voraussetzung fehlt mir und deshalb muss ich den "längeren" Weg gehen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist, wie wir (fast vollständig) nachgewiesen haben, eine Zerlegung der in irreduzible Faktoren. Noch offen ist, ob eine andere Zerlegung der in irreduzible Faktoren ist.

Sorry, ich habe es mir auch zu einfach gemacht und nicht richtig aufgepasst. Norm heißt nicht, dass eine Einheit ist.

(Dass das Thema nichttrivial ist, siehst du auch hier bei Wikipedia, wo sich der folgende Artikel mit diesem Thema befasst - "zufällig" taucht da unter "Nichteindeutigkeit der Primfaktorzerlegung" der Ring auf, mit dem du dich gerade auseinander setzen darfst.) https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratischer_Zahlk%C3%B6rper
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