komplexes Kurvenintegral

09.11.2018, 23:43	Queiser	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexes Kurvenintegral Hallo zusammen. Ich habe eine Aufgabe, bei der mir keine rechte Vorgehensweise einfällt. Die Aufgabe lautet: --------------- Sei G $\begin{eqnarray} \subset \mathbb {C} \end{eqnarray}$ ein Gebiet, $\begin{eqnarray} z_0 \in \end{eqnarray}$ G und $\begin{eqnarray} f : G \rightarrow \mathbb {C} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Wenn f in $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ komplex diffbar ist, dann gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{r \to 0} \dfrac{1}{\pi r^2} \int_{\gamma_r}^{} \! f(z) dz = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma_r \end{eqnarray}$ ist eine Parametrisierung des Kreises $\begin{eqnarray} { z_o \in \mathbb{C} : \|z-z_0\| = r }\subset G \end{eqnarray}$ --------------- Grundsätzlich ist ja für einen Kreis: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma_r}^{} \! f(z) dz = \int_{a}^{b} \! f(\gamma(t)) \cdot \gamma^{\prime}(t) dt = \int_{0}^{2 \pi} \! re^{it} \cdot rie^{it} dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ir^2 \int_{0}^{2 \pi} \! e^{2it} dt = ir^2 \int_{0}^{2 \pi} \! \left( cos(2t) +i \cdot sin(2t) \right) dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = r^2 \left( \int_{0}^{2 \pi} \! i \cdot cos(2t) dt - \int_{0}^{2 \pi} \! sin(2t)dt \right) \end{eqnarray}$ -was ja Null ist, da der Integrationsweg ja geschlossen. ist. Sicherlich wird da aber mehr dahinter stecken.... Bei dem Versuch, Eigenschaften der komplexen Differenzierbarkeit auf die Aufgabenstellung anzuwenden, wie die von Cauchy-Riemann, habe ich keinerlei Ansatzpunkte gefunden. Über einen Tipp würde ich mich freuen.
10.11.2018, 08:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast einfach das $\begin{align} f \end{align}$ unter den Tisch fallen lassen und damit jeglichen Sinn aus der Aufgabe genommen. Schau nach bei Melanie.

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