Skalares Kurvenintegral - Schwerpunkt Halbkreis

10.11.2018, 00:46	Jens Singerhoff	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalares Kurvenintegral - Schwerpunkt Halbkreis Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem mit der Aufgabe a) aus dem Bild. Eigentlich scheitert es bei mir nur im Kopf daran, dass ich in dem konkreten Fall keine skalare Funktion gegeben habe.. Meine Ideen: Darf ich in diesem Fall jetzt einfach für den Vektor x die Komponenten der Kurve einsetzen? wie verhält es sich mit dem Betrag von dx, darf ich diesen einfach mit dem Betrag der abgeleiteten Kurve ersetzen? Vielen Dank!
10.11.2018, 08:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{align} f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k \end{align}$ ist das absolute Kurvenintegral komponentenweise definiert. Beachte diesen Satz.
10.11.2018, 11:46	Jens Singerhoff	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, ich stehe immernoch auf dem Schlauch, was bedeutet denn die komponentenweise Definition? Sind das auf dem Bild dann quasi die Komponenten?
10.11.2018, 15:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist Folgendes gemeint: $\begin{align} \vec{x} ~ \left\| \dd \vec{x} \, \right\| = \begin{pmatrix} x_1 ~ \left\| \dd \vec{x} \, \right\| \\ x_2 ~ \left\| \dd \vec{x} \, \right\| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_1(t) \cdot \left\| \, \dot{\vec{\gamma}}(t) \, \right\| ~ \dd t \\ \gamma_2(t) \cdot \left\| \, \dot{\vec{\gamma}}(t) \, \right\| ~ \dd t \end{pmatrix} \end{align}$ Mit $\begin{align} \gamma_1 \end{align}$ und $\begin{align} \gamma_2 \end{align}$ sind die Komponenten von $\begin{align} \gamma \end{align}$ gemeint, also $\begin{align} \gamma_1(t) = \cos t \end{align}$ und $\begin{align} \gamma_2(t) = \sin t \end{align}$ . Du hast also jetzt zwei Integrale zu berechnen, eines über die erste, und eines über die zweite Komponente. Den Skalar $\begin{align} \frac{1}{L \left( \vec{\gamma} \right)} \end{align}$ ziehst du in jede Komponente. Du bekommst so einen Punkt, der dir den Schwerpunkt der Kreislinie angibt.
10.11.2018, 16:00	Jens Singerhoff	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hilft schon sehr, ich glaube das habe ich verstanden. Ich finde es nur immernoch verwirrend, dass ich quasi die Formel des skalaren Kurvenintegrals verwende um etwas vektorielles auszurechnen... Oder liegt das daran, dass das vektorielle Kurvenintegral nur für $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ definiert ist? Also solange ich $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k \end{eqnarray}$ Habe benutze ich die obere Formel, sonst die für das vektorielle Kurvenintegral?
10.11.2018, 16:33	Jens Singerhoff	Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehungsweise, was wäre denn in dem Kreisbeispiel überhaupt meine Funktion f? Vielleicht kann ich es mir dann besser zusammenreimen..
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