Kegelvolumen über Integral berechnen

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelvolumen über Integral berechnen
Hallo leute,

Ich möchte das integral eines kegel über Integration berechnen.
Dabei liegt der Grundkreis mit Radius r mittig im Ursprung. Die Höhe sei h.
Was mir dazu fehlt ist eine korrekte parametrisierung.
Ich habe:


Nun weiß ich die letzte Koordinate nicht.
Wenn ich einfach h einsetze, bekomme ich einen Zylinder raus. Das ist mir auch soweit klar.
Aber wie bekomme ich hier den kegel hin?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist einfacher, die Spitze in den Ursprung zu legen. Mach das erst einmal so.
Die -Achse sei also die Rotationsachse und der Kegel in positiver -Richtung geöffnet. Beim Niveau wird aus dem Kegel ein Kreis ausgeschnitten, für dessen Radius gemäß Strahlensatz gilt:



Der Kegel wird dann beschrieben durch

forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold, danke für deine Antwort.
Wir hatten leider in dieser Veranstaltung den strahlensatz nicht, daher kann ich diesen nicht verwenden.
Ich habe versucht mir mit einer Skizze zu helfen und die koordianten über Sinus zu berechnen.

Sei z also der Abschnitt auf der z-achse.
Dann ist nach und Formel für den Sinus: x=z×r/h.
Wunderbar, dass passt ja.

Nun verstehe ich leider nicht, wie du den kegel beschrieben hast bzw wie man darauf kommt.

Was ist an meinem Gedanken falsch:


Da x und y ja jeweils gleichweit vom Ursprung entfrnt sind.
Leider wird hier die jacobi Determinante null, also sehe ich schon dass es falsch ist. Aber was ist der denkfehler?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du eigentlich den Kegelkörper oder den Kegelmantel beschreiben? Da du vom Volumen sprachst, dachte ich eher an ersteres. Dann brauchst du aber Ungleichungen.

Und ich bitte dich - der Strahlensatz ist Elementarwissen der Schule! Du kannst die Formel



auch als die Gleichung einer Ursprungsgeraden in einem -Koordinatensystem ansehen. Sie hat die Steigung . Oder darfst du auch das nicht verwenden, weil es noch nicht in der Vorlesung dran war?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Das Volumen.

Und ich habe mal die pq Formel angewendet bevor Sie eingeführt wurde. Null Punkte.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nimm doch die Definition des Kegels aus der Vorlesung.
 
 
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Ungleichungen nicht.
Wir haben den inhalt des Kreises als Beispiel gemacht.
Dort haben wir auch keine Ungleichungen betrachtet sondern die Funktion
großphi (r,phi) = (r*cos(phi), r*sin(phi)).
Warum geht das hier nicht ohne?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dir schon eine Skizze gemacht? x-Achse nach rechts, y-Achse nach hinten, z-Achse nach oben. Kegel um die z-Achse herum, Spitze im Ursprung, nach oben geöffnet.
Beim -Wert endet der Kegel. Für ein machst du jetzt einen Schnitt durch den Kegel parallel zur -Ebene. Dann erhältst du einen Kreis mit einem gewissen Radius, nennen wir ihn . Alle Punkte dieses Kreises haben als dritte Koordinate, und für die ersten beiden Koordinaten gilt . Diese Beschreibung eines Kreises sollte dir bekannt sein. Das ist ja auch nichts anderes als der Satz des Pythagoras. (Die Gleichung würde nur den Kreisrand beschreiben.)

Ist es so weit klar? Oder hast du Fragen?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Mühe. Ich mache das gleich zuhause weiter und lade meine Skizze hoch smile
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder.
Ok ich verstehe zwar was du mir damit sagst. Aber wir hatten in de Vorlesung auch den Kreis beschrieben mit einer Gleichung,keiner Ungleichung, also auch nur den rand beschrieben. Das ist es woran es mir hapert
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte aber keine Probleme bereiten. Letztlich berechnet den Abstand des Punktes vom Ursprung. Und wenn der gleich ist, dann ist damit die Kreislinie beschrieben. Und wenn der Abstand höchstens ist, dann ist damit die gesamte Kreisscheibe einschließlich Rand beschrieben.

Kreisscheibe mit Rand:
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich ja. Aber ich verstehe nicht weshalb ich beim Kreis mit der kreislinie arbeiten kann, aber beim kegel eben nicht unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Flächenberechnung des Kreises kannst du doch auch nicht mit der Kreislinie arbeiten:

forbin Auf diesen Beitrag antworten »



So haben wir es in Der Vorlesung gemacht mit und der dazugehörigen jacobi Determinante, deren Betrag r ist
Daher versuche ich das ja auf diesem Weg.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann gar nicht sein. Du verwendest sowohl als Integrationsgrenze der äußeren Integration als auch als Integrationsvariable.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Verbessert Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut, du verwendest Polarkoordinaten



Dabei ist stets vorausgesetzt. Ferner muß in einem Intervall der Länge liegen, zum Beispiel .

Bei Polarkoordinaten wird aus mittels dem Betrag der Funktionaldeterminanten .

Und jetzt muß man die Bedingungen an und finden. Einsetzen in führt auf , also auf . Da aus der Bedingung herausfällt, ist über alle möglichen zu integrieren:



Aber irgendwie verstehe ich nicht, worauf du hinauswillst. Warum beschreibst du nicht einfach einmal alle Punkte , die den Kegelkörper ausmachen, durch Bedingungen an ? Dann kannst du



berechnen. Wie du das konkret machst, zum Beispiel über eine Substitution oder sonstwie, kannst du dir dann immer noch überlegen. Ich habe das Gefühl, du willst den zweiten Schritt vor dem ersten machen. Du willst einfach einmal losintegrieren und weißt noch nicht einmal, über welche Punkte du integrieren willst.

Noch einmal: Du mußt erst Bedingungen an angeben, die den Kegel beschreiben, und zwar den Vollkegel.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

[0,h]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Fast. Richtig ist



Und diese Darstellung schreit geradezu nach Fubini. Denn die erste Bedingung gibt das Intervall für an, und die zweite zeigt, über welche in Abhängigkeit von dann zu integrieren ist:



Das innere Integral, für das als Konstante anzusehen ist, kannst du jetzt zum Beispiel mittels Polarkoordinaten berechnen. Oder du kannst sagen: das haben wir in der Vorlesung schon berechnet, und den Wert von dort gleich übernehmen. Man muß ja nicht jedes Mal den bekannten Wert erneut herleiten.

Anschaulich wird der Kegel in hauchdünne Kreisscheiben zerschnitten, über deren Volumen dann aufsummiert wird.

Du kannst im Anschluß versuchen, deinen ursprünglichen Ansatz, bei dem die Kegelgrundfläche in der -Ebene liegt, durchzurechnen.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

es hat geklappt, du hast mir sehr geholfen, danke!

(Das war auch eigentlich schon am Sonntag, sorry für den späten Dank Augenzwinkern )
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