Divergenz einer rekursiven Folge

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Fragandere Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz einer rekursiven Folge
Meine Frage:
Hallo,
Ich habe die rekursive Folge: a_{n+1} = a_{n}^2 + 1/4 für n Element \mathbb N von dieser soll ich nun die Grenzwerte bestimmen und beweisen dass sie konvergent bzw. divergent ist.


Meine Ideen:
Bestimmt habe ich bereits dass die Folge für -0.5 <= a_{1} <=0.5 gegen 0.5 konvergiert.
Nun fehlt mir noch das Verhalten für a_{1} <= -0.5 und a_{1} >= 0.5 ich weiß, dass die Folge hier gegen unendlich divergiert nur wie beweise ich das?
Frageandere Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz einer rekursiven Folge
Sorry hier nochmal mit Formeln:

Ich habe die rekursive Folge: ^2 + 1/4 für n Element von dieser soll ich nun die Grenzwerte bestimmen und beweisen dass sie konvergent bzw. divergent ist.

Bestimmt habe ich bereits dass die Folge für -0.5 <= <=0.5 gegen 0.5 konvergiert.
Nun fehlt mir noch das Verhalten für <= -0.5 und >= 0.5 ich weiß, dass die Folge hier gegen unendlich divergiert nur wie beweise ich das?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man zeigt, dass die Folge dann unbeschränkt wächst:

Für ist . Dann kann man basierend auf nachweisen

für alle ,

etwa durch vollständige Induktion. Aus dieser Abschätzung folgt unmittelbar , also Divergenz.
Fragandere Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich nicht ganz nachvollziehen kann ist wie du auf gekommen bist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist völlig wurst, wie ich drauf gekommen bin - wichtig ist, dass es stimmt. Und das kannst du überprüfen, indem du diesen Term ausmultiplizierst und vereinfachst.
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