Komplexes Polynom Untervektorraum

10.11.2018, 21:10

erstsemester

Komplexes Polynom Untervektorraum

Hallo zusammen,

ihr unterstützt mich hier so gut, da möchte ich noch einmal die Möglichkeit nutzen und euch um eure Expertise ersuchen.

Zu folgender Aufgabenstellung habe ich mir eine Lösung überlegt:

Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{C(T)} \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller komplexen Polynome $\begin{eqnarray*} P(T)=\lambda^{n}T^{n}+...+\lambda_{0} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist, dass die Teilmenge $\begin{eqnarray*} U=\left\{ P|P(e^{\pi\cdot i}T)=P(T) \wedge deg(P)\leq 3\right\} \subset\mathbb{R^3} \end{eqnarray*}$ ein UVR ist.

Lösungsansatz:

Zunächst schreibe ich die Teilmenge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in expliziter Form, da deren Elemente aufgrund der Bedingung endlich sind.

$\begin{eqnarray*} U=\left\{ P|P(e^{\pi\cdot i}T)=P(T) \wedge deg(P)\leq 3\right\}=\left\{-\lambda_{3}T^{3}+\lambda_{2}T^{2}-\lambda_{1}T^{1}+\lambda_{0} \right\} \end{eqnarray*}$ . Zur Umformung habe ich die Beziehung $\begin{eqnarray*} e^{\pi\cdot i}=-1 \end{eqnarray*}$ herangezogen.

Die Bedingung $\begin{eqnarray*} deg(P)\leq 3 \end{eqnarray*}$ fordert ein Polynom vom Grad 3. Somit existieren Elemente in der Teilmenge ,d.h $\begin{eqnarray*} U\neq \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ . Das Nullpolynom $\begin{eqnarray*} p_{0}\in U \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} -\lambda_{3}T^{3}+\lambda_{2}T^{2}-\lambda_{1}T^{1}+\lambda_{0}=0 \Rightarrow (\lambda_{3}\lambda_{2},\lambda_{1},\lambda_{0} )=0 \end{eqnarray*}$ . Das Nullpolynom $\begin{eqnarray*} p_{0}\in U \end{eqnarray*}$ , wenn alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0, i=0,1,2,3 \end{eqnarray*}$

Nun wird angenommen, dass die Polynome P[T] hinsichtlich der "Skalarmultiplikation" und der "Vektoraddition" abgeschlossen sind, d.h.

$\begin{eqnarray*} a,b\in U \Rightarrow a+\epsilon\cdot b \in U \end{eqnarray*}$

Zwei beliebige Polynome

$\begin{eqnarray*} a=\sum\limits_{k=1}^{3} \lambda_{i}T^{i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=\sum\limits_{k=1}^{3} \mu_{i}T^{i} \end{eqnarray*}$

für die $\begin{eqnarray*} a+\epsilon\cdot b=\sum\limits_{k=1}^{3} \lambda_{i}T^{i}+ \epsilon \cdot \sum\limits_{k=1}^{3} \mu_{i}T^{i}=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Dies ist der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} T^{i}\sum\limits_{k=1}^{3}( \mu_{i}+\epsilon\lambda_{i})=0 \end{eqnarray*}$

Dies ist für homogene LGS erfüllt. Also ist U ein LGS und somit ein UVR.

Hier bin ich mir allerdings nicht sicher, ob die vorgehensweise überhaupt korrekt ist. Könntet ihr mich diesbezüglich kurz erleuchten?

Vielen Dank
erstsemester

12.11.2018, 09:21

klarsoweit

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RE: Komplexes Polynom Untervektorraum

Zitat:

Original von erstsemester
Zunächst schreibe ich die Teilmenge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in expliziter Form, da deren Elemente aufgrund der Bedingung endlich sind.

Was willst du damit sagen? Daß die Menge U aus endlich vielen Elementen besteht? Oder was ist ein endliches Element?

Zitat:

Original von erstsemester
$\begin{eqnarray*} U=\left\{ P|P(e^{\pi\cdot i}T)=P(T) \wedge deg(P)\leq 3\right\}=\left\{-\lambda_{3}T^{3}+\lambda_{2}T^{2}-\lambda_{1}T^{1}+\lambda_{0} \right\} \end{eqnarray*}$

Vielleicht hast du nicht ganz verstanden, wie Elemente von U typischerweise aussehen. Abgesehen vom maximalen Grad 3 muß ein Polynom P die Gleichung $\begin{eqnarray*} P(e^{\pi\cdot i}T)= P(T) \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Zitat:

Original von erstsemester
Nun wird angenommen, dass die Polynome P[T] hinsichtlich der "Skalarmultiplikation" und der "Vektoraddition" abgeschlossen sind, d.h.

$\begin{eqnarray*} a,b\in U \Rightarrow a+\epsilon\cdot b \in U \end{eqnarray*}$

Das ist nicht anzunehmen, sondern genau das muß eben bewiesen werden.

Zitat:

Eher wohl:
$\begin{eqnarray*} a(T) = \sum\limits_{k=1}^{3} \lambda_{k}T^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b(T) = \sum\limits_{k=1}^{3} \mu_{k}T^k \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von erstsemester
Zwei beliebige Polynome

$\begin{eqnarray*} a=\sum\limits_{k=1}^{3} \lambda_{i}T^{i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=\sum\limits_{k=1}^{3} \mu_{i}T^{i} \end{eqnarray*}$

für die $\begin{eqnarray*} a+\epsilon\cdot b=\sum\limits_{k=1}^{3} \lambda_{i}T^{i}+ \epsilon \cdot \sum\limits_{k=1}^{3} \mu_{i}T^{i}=0 \end{eqnarray*}$

Was du da insgesamt sagen willst, ist mir unklar. Warum sollte jetzt $\begin{eqnarray*} a+\epsilon\cdot b= 0 \end{eqnarray*}$ sein?

12.11.2018, 13:02

erstsemester

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RE: Komplexes Polynom Untervektorraum
mein ziel war es, die Aufgabenstellung zu verstehen. aber es gelingt mir nicht.

denn eigentlich muss ich ´"nur" zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein UVR ist. Hierzu muss ich allerdings erst einmal herausfinden, was $\begin{eqnarray*} P(e^{\pi\cdot i}T)=P(T) und deg(P)<=3 \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Hierzu verstehe ich nur, dass es ein Polynom vom Grad 3 ist. Ich habe allerdings noch keine Vorstellung, wie dies in expliziter Form darzustellen ist.

Aus der expliziten Darstellung hatte ich mir nähere Erkenntnisse erhofft. Kannst du mir dabei helfen?

Wie fange ich denn grundsätzlich bei solcher Aufgabe an? Denn die Beweis-Aufgaben sind für mich echt schwierig... zumindest noch!!

12.11.2018, 13:46

klarsoweit

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RE: Komplexes Polynom Untervektorraum

Zitat:

Original von erstsemester
denn eigentlich muss ich ´"nur" zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein UVR ist. Hierzu muss ich allerdings erst einmal herausfinden, was $\begin{eqnarray*} P(e^{\pi\cdot i}T)=P(T) und deg(P)<=3 \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Hierzu verstehe ich nur, dass es ein Polynom vom Grad 3 ist. Ich habe allerdings noch keine Vorstellung, wie dies in expliziter Form darzustellen ist.

Nun ja, so weit weg bist du ja nicht. Du hast ja schon festgestellt, daß $\begin{eqnarray*} P(T) = \lambda_{3}T^3 + \lambda_{2}T^2 + \lambda_{1}T^1 + \lambda_{0} \end{eqnarray*}$ ist und folgerichtig gilt:

$\begin{eqnarray*} P(e^{\pi\cdot i}T) = -\lambda_{3}T^3 + \lambda_{2}T^2 - \lambda_{1}T^{1} + \lambda_{0} \end{eqnarray*}$

Damit P(T) ein Element von U ist, muß ja - abgesehen vom Grad 3 - $\begin{eqnarray*} P(e^{\pi\cdot i}T)=P(T) \end{eqnarray*}$ gelten. Daraus kann man schon Eigenschaften für die Koeffizienten ablesen und somit eine Idee gewinnen, wie Elemente von U aussehen. Aber das ist gar nicht wirklich erforderlich. Für die Unterraumeigenschaft mußt du unter anderem nur die Additivität nachweisen. Für 2 beliebige Elemente a und b aus U muß also auch die Summe a+b Element von U sein. Das mit dem Grad 3 ist sofort klar. Es bleibt also nur noch zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} (a + b)(e^{\pi\cdot i}T) = (a + b)(T) \end{eqnarray*}$ ist. Und das ist in der Tat ein Einzeiler. smile

Zitat:

Original von erstsemester
Wie fange ich denn grundsätzlich bei solcher Aufgabe an? Denn die Beweis-Aufgaben sind für mich echt schwierig... zumindest noch!!

Ein allgemeines immer funktionierendes Kochrezept gibt es da nicht. Hier zeigt sich auch die hohe Kunst der Mathematik. Augenzwinkern

Was aber immer geht, ist etwas Struktur in die Aufgabe zu bringen:
- was sind die Voraussetzungen / vorgegebene Eigenschaften?
- was will ich zeigen?
- wie sind die relevanten Begriffe definiert?
- kann ich auf andere bewiesene Eigenschaften zurückgreifen?

12.11.2018, 14:26

HAL 9000

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Eine Frage dazu:

Zitat:

Original von erstsemester
Zu zeigen ist, dass die Teilmenge $\begin{eqnarray*} U=\left\{ P|P(e^{\pi\cdot i}T)=P(T) \wedge deg(P)\leq 3\right\} {\color{red}\subset\mathbb{R^3}} \end{eqnarray*}$ ein UVR ist.

Ist dieses $\begin{eqnarray*} {\color{red}\subset\mathbb{R}^3} \end{eqnarray*}$ ein Schreibfehler, oder gar Teil der zu beweisenden Aussage? Denn selbst wenn man die Polynome höchstens dritten Grades mit ihrem Koeffizientenvektor charakterisiert, dann wäre das zunächst mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ . Dass letztlich $\begin{eqnarray*} \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ ist, stellt sich ja erst im Verlauf der Untersuchung heraus... verwirrt

15.11.2018, 20:30

erstsemester

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@Hal 9000: ja, das war ein Schreibfehler. sollte heißen $\begin{eqnarray*} U\subset \mathbb{C[T]} \end{eqnarray*}$

@ Klarsoweit: deine Tipps sind Gold wert.

euch beiden ganz herzlichen Dank für eure Unterstützung.

15.11.2018, 21:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von erstsemester
@ Klarsoweit: deine Tipps sind Gold wert.

Ein nettes Lob, aber ich hoffe, du kannst mit den Tipps auch etwas anfangen.

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