Raum der stetigen beschränkten Funktionen ist nicht separabel

11.11.2018, 11:25

forbin

Raum der stetigen beschränkten Funktionen ist nicht separabel

Hallo Leute,

Ich soll zeigen: $\begin{eqnarray*} (C_{b}(\mathbb R,\mathbb K),||||_{\infty}) \end{eqnarray*}$ ist nicht separabel.
Muss ich zeigen dass jede dichte Teilmenge überabzählbar ist?

11.11.2018, 11:51

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RE: raum der stetigen beschränkten Funktionen ist nicht separabel
Ich wüsste auf Anhieb nicht, wie das geht. Deswegen würde ich zeigen, dass man zu jeder Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ in dem Raum ein Element angeben kann, das von jedem $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ mindestens Abstand 1 hat.

11.11.2018, 12:44

forbin

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Da läuft dann auf die Beschränktheit raus oder?
Also seien alle Funktionen kleinergleich u, dann sind auch alle f_n kleinergleich u.
Wähle ich nun v=u+1, so sind alle fn mindestens 1 entfernt davon.
Meinst du das so?

11.11.2018, 12:52

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Nein. Die Annahme

Zitat:

seien alle Funktionen kleinergleich u

ergibt keinen Sinn, weil es für $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$ keine solche globale Konstante gibt.
Über die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ weißt du nur, dass sie eben in $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$ liegen. Ausgehend davon gilt es jetzt, ein passendes f zu konstruieren. Die Idee mit +1 geht in die richtige Richtung

11.11.2018, 12:57

forbin

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Ich hätte b Schreiben sollen statt u.
Sorry aber ich muss erst das fragen: sind die Funktionen nach oben nicht durch b beschränkt?

11.11.2018, 13:50

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Ich kenne $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$ als den Raum der beschränkten Funktionen. Aber jede Funktion hat ihre eigene Schranke. Sonst wären z.B. die konstanten Funktionen nicht in $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$

11.11.2018, 13:58

forbin

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Super danke für die Erklärung.

Sei fn in Cb. Dann ist fn beschränkt mit s, also jede Funktion mit ihrer eigenen Schranke. Ist das so ok?

11.11.2018, 14:03

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Ja. Hier kann man sogar die beste Schranke angeben, nämlich $\begin{eqnarray*} \|f_n\|_\infty \end{eqnarray*}$

11.11.2018, 14:15

forbin

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Ach na klar.
Okay sei also m:= $\begin{eqnarray*} ||f_{n}||_{\infty} \end{eqnarray*}$
Dann: $\begin{eqnarray*} f_{n}\leq m \forall n \end{eqnarray*}$

Ok und nun m+1 bilden und den abstand messen meinst du?
Tut mir leid in diesem FaCh entzieht sich ja wirklich alles der Anschauung deshalb komme ich damit hinten und vorne nicht klar und muss so klein nachfragen

11.11.2018, 15:09

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Ich verstehe überhaupt nicht, was du damit

Zitat:

Original von forbin
Okay sei also m:= $\begin{eqnarray*} ||f_{n}||_{\infty} \end{eqnarray*}$
Dann: $\begin{eqnarray*} f_{n}\leq m \forall n \end{eqnarray*}$

sagen willst. Das m hängt doch von n ab.

Also nochmal: Zu jeder Funktion $\begin{eqnarray*} g\in C_b \end{eqnarray*}$ gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray*} K_g \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |g(x)|\leq K_g \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt. Diese Schranke $\begin{eqnarray*} K_g \end{eqnarray*}$ hängt aber von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ab!

Du gehst davon aus, irgendwer hätte eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ von Funktionen aus $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$ ausgewählt. Deine Aufgabe ist es, eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\in C_b \end{eqnarray*}$ zu finden mit $\begin{eqnarray*} \|f-f_n\|_\infty \geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Mach dir als erstes klar, warum daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$ nicht separabel ist.

11.11.2018, 15:16

forbin

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Ok also den Ausführungen kann ich folgen. Danke dafür.
Warum folgt da also die nicht-separabilität?
Hm gute frage.
Also separabel heisst es gibt eine höchstens abzählbare Teilmenge, die dicht liegt.
Ne tut mir leid

11.11.2018, 15:20

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Dann denk nochmal drüber nach. Das ist schlicht die Definition

11.11.2018, 15:29

forbin

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Ok danke

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