Geradenschar

11.11.2018, 14:14	HAEngel2701	Auf diesen Beitrag antworten »
Geradenschar Meine Frage: Gegeben ist die Geradenschar g mit der Gleichung: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 3a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Bestimmen Sie a so, dass die Schargerade parallel zur xy-Ebene und zur yz-Ebene ist. b) Welche Gerade der Schar schneidet die xz-Ebene im Punkt Q(-8\|0\|27)? c) In welchem Punkt Pa schneidet die Gerade ga die xz-Ebene? Zeigen Sie, dass alle Pnkte Pa auf einer Geraden liegen! Meine Ideen:* a) Für die xy-Ebene muss ja die z-Komponente der Geradengleichung 0 sein. Aber weiter komm ich irgendwie nicht. b) Hier kann man aus der y-Komponente mit 0=-5-2r r=-2,5 ermitteln und dann in die anderen beiden Zeilen der Geradengleichungen einsetzen, sodass man a=4 erhält. c) keine Ahnung
11.11.2018, 22:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Parallel zur xy- UND zur yz-Ebene ist der Richtungsvektor (0; 1; 0) Daher muss (a; -2; 3a) parallel zu (0; 1; 0) sein. Berechne daraus a b) Angabefehler! Der gegebene Punkt lautet Q(-8; 0; -27). DANN ist a = 4 c) Für alle Punkte der xz-Ebene gilt: y = 0 Somit ist 0 = -5 + r(-2) und daraus r = -5/2 Alle Schnittpunkte der Schar $\begin{eqnarray} g_a \end{eqnarray}$ genügen der Gleichung $\begin{eqnarray} \vec X = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} - \frac 5 2 \begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 3a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da nun der urprüngliche Parameter $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ fest und dafür $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ variabel geworden ist, steht hiermit bereits eine Geradengleichung mit dem Paramter $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ da. Sie bezeichnet die Gesamtheit aller Schnittpunkte der Schar $\begin{eqnarray} g_a \end{eqnarray}$ mit der xz-Ebene. $\begin{eqnarray} \vec{X_{g_a}} = \begin{pmatrix} 2-\frac{5a} 2 \\ -5 + 5 \\ 3 - \frac{15a} 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} -\frac 5 2 \\ 0 \\ -\frac{15} 2 \end{pmatrix} \ \to \ \vec{X_{g_a}} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \text{ mit }t = -\frac {5a} 2 \end{eqnarray}$ mY+
11.11.2018, 22:19	Tallion	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Damit die Geradenschar parallel zur xy-Ebene ist muss nicht die z-Koordinate gleich Null sein, sondern der Richtungsvektor darf die z-Koordinate des Punktes (2, -5, 3) nicht verändern. Edit (mY+): Lösung entfernt. Damit die Geradenschar ebenfalls parallel zur yz-Ebene ist, darf der Richtungsvektor auch die x-Koordinate des Punktes (2, -5, 3) nicht verändern. Edit (mY+): Lösung entfernt. b) Stimmt! c) Die Gerade schneidet die xz-Ebene genau dann, wenn die y-Koordinate 0 ist. Damit weißt du schon mal, dass Pa die Form (x, 0, z) haben muss. Dann kannst du das r durch gleichsetzen bestimmen: (x, 0, z)=(2, -5, 3)+r(a, -2, 3a) 0=-5-2r => r=-2,5 Nun kannst du das r in die Gleichung einsetzen und bekommst: x=2-2,5a z=3-2,53a => z=3-7,5a Pa(2-2,5a; 0; 3-7,5a) Edit (mY+): Bitte von Komplettlösungen abzusehen. Bei der Aufgabe a) ist es zwar offensichtlich, aber etwas muss der TE auch selbst tun! Bei c) haben wir eine Ausnahme gemacht ...

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