Supremum und Infimum zeigen

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Schnurri Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum und Infimum zeigen
Meine Frage:
Liebes Matheboard!

Ich soll von der folgenden Menge bestimmen, ob sie beschränkt ist und gegebenfalls das Supremum bzw. Infimum angeben.



Meine Ideen:
Durch Ausprobieren gelangte ich recht schnell zu der Behauptung, dass die Menge beschränkt ist und dass das infA = 0 und das supA = 1 ist (sein könnte).

Nun zum Beweis:

Zum Infimum:

Ist es hier ausreichend folgendes zu schreiben?

Das Infimum ist ja definiert als:



Da ja 0 in der Menge liegt und der kleinste Wert ist, den die Menge annehmen kann, folgt daraus dass:



Reicht dies als Beweis, oder muss ich hier versuchen über den indirekten Beweis zu einem Widerspruch zu gelangen?

Das würde ich nämlich beim Supremum so machen, da die Menge sich der 1 nur annähert:

Behauptung:



Beweis:


Zu zeigen:


Durch Umformen gelange ich zu:





Nur erkenne ich den Widerspruch nicht ganz. Ist diese Ungleichung insofern widersprüchlich, da ist und ich immer eine reelle Zahl x finden werde, die diese Ungleichung nicht erfüllt?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Infimum=Minimum=0 ist klar, weil alle Elemente von A nicht negativ sind und für auch in A liegt.
Der Nenner ist immer größer als der Zähler, also sind alle Elemente von A kleiner als 1, also kann das Supremum nicht größer als 1 sein. sup(A)=1 ist daher eine naheliegende Vermutung. Die Vermutung wird bestätigt, denn , d.h. insbesondere, dass die Elemente von A der 1 beliebig nahe kommen. (Merke: wo Konvergenz herrscht, ist der Limes das Supremum oder Infimum.)
Schnurri Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort Elvis! Deine Merkregel werde ich auf jeden Fall im Hinterkopf behalten smile

Da wir Grenzwerte noch nicht durchgemacht haben, würde ich noch gerne wissen, ob ich es auch mit dem indirekten Beweis (wie oben) so zeigen kann? Und ob diese letzte Ungleichung tatsächlich zu einem Widerspruch der Behauptung führt? verwirrt Wie gesagt, bin mir da nicht so sicher...

Danke für deine Mühe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß ich nicht, deshalb habe ich das direkt bestimmt. (Was du gemacht hast, verstehe ich nicht.)

Indirekt geht es auch: Annahme

für alle , und das kann sein. (Ist das ein Beweis ? Was ich gemacht habe, verstehe ich nicht.)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man nur lange genug versucht, kommt man auch auf einen Widerspruchsbeweis.

Annahme: Es gibt ein mit für alle



Es gibt ein mit , also ist für auch im Widerspruch zur Annahme.

q.e.d.
Schnurri Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen herzlichen Dank Elvis! Das hilft mir enorm weiter. Nun erkenne ich auch, dass ich mich oben komplett vertan habe bei dieser Umformung. smile

So hätte es gemacht werden sollen! Hammer
 
 
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