Abbildung ist bijektiv? |
| 12.11.2018, 21:14 | eyklxb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abbildung ist bijektiv? Hallo , die folgende Aufgabe ist auf meinem Übungsblatt und ich bräuchte eine kleine Denkhilfe Zeigen Sie, dass die Abbildung g : N×N -> N, (n,m) --> n+ 1/2(n+m-1)(n+m-2), bijektiv ist. Würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte Meine Ideen: Für die Injektivität weiß ich dass " f(x1) = f(x2) => x1=x2 " Aber das Problem ist hier dass ich nicht weiß wie ich das auf dieses Beispiel übertrage. Es müsste ja irgendwie sowas sein " f(n,m) = f(a,b) => n,m = a,b " aber das ist nunmal nicht richtig |
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| 12.11.2018, 21:50 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit wachsenden n und m werden die Zahlen g(n, m) immer größer. Um das Problem zu lösen würde ich viele kleine Zahlenpaare in die Funktion einsetzen und berechnen, wohin sie abgebildet werden. Wenn du dabei ein Muster erkennen kannst, kannst du die Umkehrabbildung postulieren und durch Komposition in beide Richtungen beweisen, dass jeweils die identische Abbildung entsteht. Wenn das so ist, ist g bijektiv. (Es muss nicht immer Theorie sein, manchmal hilft praktische Mathematik.) |
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| 13.11.2018, 07:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da das menschliche Gehirn in Bildern oft schneller Muster erkennt als in reinen Zahlenkolonnen, möchte ich Elvis' Vorschlag aufgreifen und dir empfehlen, in einem -Koordinatensystem bei jedem Gitterpunkt den Funktionswert einzutragen. [attach]48323[/attach] Führe das System in der Graphik noch ein bißchen weiter. Wie verteilen sich die natürlichen Zahlen über das Gitter? |
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| 13.11.2018, 08:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Muster kommt mir sehr bekannt vor. Ich glaube, ich weiß schon, wie es weiter geht. 
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| 13.11.2018, 10:39 | eyklxb2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo , danke erstmal euch beiden für eure schnelle Antwort. Ich habe das Diagramm nun weiter vervollständigt und bin zum Entschluß gekommen dass jede natürliche Zahl genau einmal getroffen wird. g(1,1) =1 g(1,2) = 2 g(2,1)= 3 g(1,3) = 4 g(2,2) = 5 usw. Was ich auch noch gemerkt habe ist das mit jeder Diagonalen eine Zahl mehr entsteht 1 2,3 4,5,6 7,8,9,10 usw. Darf ich dann jetzt daraus schließen dass jedes Bild exakt ein Urbild besitzt? Kann ich dann daraus schlußfolgern dass die Abbildung bijektiv ist? Grüße |
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| 13.11.2018, 10:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus "usw." darf man alles und nichts und nicht alles und nicht nichts schließen. Ich glaube, dass du recht hast, aber glauben ist nicht wissen. Wie man daraus einen rigorosen Beweis macht, habe ich schon gesagt. Wenn dir dieser Beweis oder ein anderer Beweis gelingt, freue ich mich auf deine Veröffentlichung. Wenn dir kein Beweis gelingen sollte, musst du nur überzeugend kundtun, das sei ja wohl offensichtlich und völlig trivial. 
Übrigens heißen die letzten Zahlen in jeder Diagonalen seit Pythagoras Dreieckszahlen. Ob dieser Hinweis lediglich als Partywissen durchgeht oder für irgend etwas nützt, weiß ich auch nicht. |
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| 13.11.2018, 11:09 | eyklxb2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube dann versuch ich es mit der "Das ist doch Trivial ! " Methode. (Denn ich hab noch viele andere Beweise auf dem Übungsblatt zu machen ) Danke für ihre Hilfe , schönen Tag noch. |
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| 13.11.2018, 11:19 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, das solltest du im Zusammenhang mit der Funktionsdarstellung aber nochmal gründlicher durchdenken. Vielleicht hilft es dabei, die Funktionsgleichung in der Form (wg. Kleinem Gauß) zu interpretieren. |
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| 13.11.2018, 11:33 | eyklxb2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo , danke für ihre Antwort Mit der von ihnen genannten Formel könnte ich ja an sich argumentieren dass jedes Bild g(n,m) , ein eindeutiges Urbild besitzt und somit die Abbildung bijektiv ist? |
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| 13.11.2018, 11:48 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist nur Injektivität. Zur Bijektivität gehört auch Surjektivität, d.h., dass jede natürliche Zahl auch wirklich irgendwo als Funktionswert auftaucht. |
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