Logarithmengleichung beweisen

12.11.2018, 21:43

MatheFredo

Logarithmengleichung beweisen

Meine Frage:
Beweisen Sie folgende Gleichung:

Der Logarithmus von z zur Basis b = ln(z)/ln(b)

Meine Ideen:
Mein Vorschlag:

log (z) zur Basis b = 1/der Logarithmus von (b) zur Basis z

ln(z)/ln(b) kann ich nicht umschreiben, dementsprechend

1/(log von b zur Basis z)= ln(z)/ln(b)

=> bewiesen?

12.11.2018, 22:17

HAL 9000

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Ich kann leider nicht erkennen, in welcher Weise deine Gedanken zielführend sein sollen. verwirrt

$\begin{eqnarray*} x=\log_b(z) \end{eqnarray*}$ ist per Definition gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} b^x=z \end{eqnarray*}$ .

Wenn du daher $\begin{eqnarray*} \log_b(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(b)} \end{eqnarray*}$ nachweisen willst, solltest du $\begin{eqnarray*} b^{\frac{\ln(z)}{\ln(b)}}=z \end{eqnarray*}$ zeigen!

12.11.2018, 22:47

MatheFredo

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Behauptung:

log b (z) = ln (z)/ ln (b)

Beweis:

x= log b (z) <=> z= b^x

z= b ^((ln(z)/ln(b))
z= (ln (z)/ ln (b)) * b

(ln (z)/ln(b)) * b = ln(z)/ln(b)

So etwa?

13.11.2018, 08:41

HAL 9000

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Was soll ich dazu sagen? Du schüttelst in der vorletzten Zeile ohne jede Begründung die absurde Gleichung

z = (ln (z)/ ln (b)) * b

aus dem Ärmel und fragst dann "So etwa?". Nein, so ganz und gar nicht. unglücklich

Eine Möglichkeit: Es ist (wieder per Definition) $\begin{eqnarray*} b = e^{\ln(b)} \end{eqnarray*}$ , und der Rest folgt über die Potenzregel $\begin{eqnarray*} \left(u^v\right)^w = u^{v\cdot w} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} b^{\frac{\ln(z)}{\ln(b)}} = \left(e^{\ln(b)}\right)^{\frac{\ln(z)}{\ln(b)}} = e^{\ln(b)\cdot\frac{\ln(z)}{\ln(b)}} = e^{\ln(z)} = z \end{eqnarray*}$ .

13.11.2018, 08:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von MatheFredo
z= (ln (z)/ ln (b)) * b

(ln (z)/ln(b)) * b = ln(z)/ln(b)

Ich weiß nicht, was du da rechnest. Da b nicht 1 sein kann, folgt ln(z)/ln (b) = 0 . verwirrt

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