Hermite Polynome Nullstellen Tridiagonalmatrizen

13.11.2018, 16:17

yannik0103

Hermite Polynome Nullstellen Tridiagonalmatrizen

Meine Frage:
Hallo, ich soll zeigen, dass die Hermite Polynome die gleichen Nullstellen wie das charakteristische Polynom der Tridiagonalmatrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1/2} & 0 & \left(...\right) &0 \\ \sqrt{1/2} & 0 & \sqrt{2/2} & \left(...\right) &0 \\ \left(...\right) & \left(...\right) & \left(...\right) & \left(...\right) \\ 0& \left(...\right) & \sqrt{(n-1)/2} &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
haben.

Meine Ideen:
Ich habe in Teil a der Aufgabe gezeigt dass P_n+1(X)=(a_n+1 - X) * P_n(X) - b_n^2 * P_n-1(X) gilt und wollte diese Formel mit der rekursiven Formel der Hermite Polynome vergleichen allerdings kann ich nicht erkennen, warum die Polynome die gleichen Nullstellen haben sollen. Der Stoff aus der Vorlesung hilft mir leider auch nicht weiter.

14.11.2018, 12:15

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RE: Hermite Polynome Nullstellen Tridiagonalmatrizen
Was sollen die a_n und b_n sein? Ich bekomme als Rekursion der charakteristischen Polynome $\begin{eqnarray*} q_n(x)= xq_{n-1}-\frac{n-1}{2}q_{n-2} \end{eqnarray*}$
Schreib dir die ersten vier charakteristischen Polynome auf und vergleiche mit den Hermite Polynomen.

14.11.2018, 13:30

yannik0103

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RE: Hermite Polynome Nullstellen Tridiagonalmatrizen
Oh, tut mir leid ich habe die Determinante von Tridiagonalmatrizen berechnet und vergessen das auf diesen Fall zu übertragen allerdings ist in meiner der erste Teil -x anstatt +x und der zweiteauch -(n-1)/2 und ich finde meinen Fehler nicht. Außerdem sehe ich nicht wie mir diese Formel weiterhelfen soll, da wenn ich 2 ausklammere die Gleichungen immer noch nicht "übereinstimmen".

14.11.2018, 14:03

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RE: Hermite Polynome Nullstellen Tridiagonalmatrizen
Ich berechne $\begin{eqnarray*} \det(x I - M_n) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Einheitsmatrix ist und $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ deine Matrix durch Entwicklung nach der letzten Spalte.
Hast du das

Zitat:

Schreib dir die ersten vier charakteristischen Polynome auf und vergleiche mit den Hermite Polynomen.

schon getan?

14.11.2018, 14:26

yannik0103

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RE: Hermite Polynome Nullstellen Tridiagonalmatrizen
Ja habe ich, allerdings kommt bei mir eine andere rekursive Gleichung raus. Ich versuche mal meine Lösung hochzuladen.
Ja die stimmen überein

14.11.2018, 14:41

yannik0103

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RE: Hermite Polynome Nullstellen Tridiagonalmatrizen
Schaffe es leider nicht meine vollständige Lösung hochzuladen, meine rekursive Formel ist P_n+1(X)=-X*P_n(X)-(n/2)*P_n-1(X)

14.11.2018, 15:15

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RE: Hermite Polynome Nullstellen Tridiagonalmatrizen
Du berechnest $\begin{eqnarray*} \det(M_n-xI) \end{eqnarray*}$ , richtig?
Ich kann es nur noch einmal sagen

Zitat:

Schreib dir die ersten vier charakteristischen Polynome auf und vergleiche mit den Hermite Polynomen.

Die können nicht identisch sein, weil die charakteristischen Polynome 1 oder -1 als höchsten Koeffizienten haben.

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