Schwache Gruppen

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Ersti218 Auf diesen Beitrag antworten »
Schwache Gruppen
Meine Frage:
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Meine Ideen:
Das lösen der a war kein Problem da eine Gruppe nach definition Assoziativ ist und ein vollständig neutrales/inverses Element natürlich auch Linksneutral/-invers ist.

Wo ich mir ein bisschen unsicher ist bin die b.

Dass aus dem Linksinversen Element auch ein Vollinverses folgt müsste sich über

zeigen lassen.

Der einzige Weg wie daraus die Existenz eines Neutralen zu zeigen ist liegt darin dass,

nicht gelten kann wenn ist.
So Impliziert die Eigenschaft des Inversen Elements die Eigenschaft des Neutralen Elements.

Meine Frage ist ob der Beweis so bereits erbracht ist oder man die Implikation noch über einen Widerspruch beweisen muss und wie man diesen dann am besten formuliert.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dein Aufschrieb ist unverständlich, weil du deine Variablen nicht einführst.

Was sind für Elemente? Soll linksinvers zu sein oder was meinst du? Was ist dann mit gemeint? Alles völlig unklar. Sag, was du meinst.
Ersti218 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung.



e ist das (Links-)Neutrale Element von G
b ist das Linksinverse Element von a

und

Die Schreibweise sollte verdeutlichen dass a auch das Rechtsinverse Element von b ist.

Mir fällt aber gerade auf dass der Beweis ohnehin nur Zeigt dass für jedes Linksinverse Element ein Rechtsinverses Element in G existiert und keine Aussage über die existent von Vollinversen Elementen macht.

Um ehrlich zu sein war dass Allgemein nicht gut durchdacht, da muss ich mir nochmal einen anderen Beweis überlegen.



Nebenbei weist du wie man ein Sonderzeichen wie # hochstellen kann?
Ich hab gelesen \# würde Sonderzeichen maskieren, jedoch führt der Ausdruck
x^{ \# }
trotzdem zu einem Fehler im Formeleditor.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Sonderzeichen ist merkwürdig. Wenn ich die Sequenz, die du angibst, in Latex-Tags fasse, erscheint das gewünschte. Du kannst Mal bei meinem Beitrag auf zitieren klicken, um es dir anzusehen:

Die Schreibweise mit hoch -1 würde ich vermeiden, bis klar ist, dass es sich tatsächlich um Vollinverse handelt. Du hast ja schon selbst gemerkt, dass dich das sonst verwirrt ;-)

Wenn du noch Hilfe willst, sag Bescheid, es ist aber ein guter Instinkt, das erstmal alleine weiter versuchen zu wollen. Nur so wirst du etwas dabei lernen.
Ersti218 Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch Nummer 2:
1.Wir haben gegeben dass (G,*) assoziativ ist, also können wir belibig Klammern setzen ohne die
Gleichung zu verändern.
2.Auch wissen wir dass linksneutral ist, also können wir es links mit einem
Element verknüpfen ohne die Gleichung zu ändern.
3.Für jedes Element aus gibt es ein linksinverses Element

Nehmen wir als Startpunkt die Gleichung

| |Jetzt setzen wir links von a e ein.

|Nach der Assoziativität der Gruppe können wir umformen in



Daraus folgt dass b*e=b und so müsste bewiesen sein dass e ein vollneutrales Element ist.


Zum beweis des Voll-inversen Elements stellt man die Voraussetzung auf.

|e wird links verknüpft

|jetzt ersetzt man e aber mit den linksinversen Element von b * b

|Klammern umformen

|Klammer berechnen

|e kann man rausnehmen



Jetzt hat man nur noch das linksinverse Element von b mit b verknüpft, was nach definition e ist womit das vollinverse Element bewiesen ist.

Dammit kann man auch nochmal das vollneutrale Element beweisen

|e kann man umformen zu a*b dank der bewiesenen Vollinverse

| und b*a kann man wieder zu e umformen



So ist dass vollneutrale element nochmals bewiesen und nach dem Hinweis ist dass wohl auch der geforderte Lösungsweg.

Es interessiert mich trotzdem ob der obere Beweis für e auch funktioniert oder mann lieber einen benutzt der vollständig über mathematische Operationen zu zeigen ist?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nun sehr gut lesbar, schön.

Wie folgerst du aus , dass sein muss? Ich sehe nicht, wie das gehen sollte.
Bedenke, dass der Beweis, dass inverse Elemente in Gruppen eindeutig sind, in schwachen Gruppen ohne weiteres nicht funktioniert, du also nicht annehmen darfst, dass es nur ein linksinverses Element zu gibt. Selbst wenn du das annehmen dürftest, wäre das immer noch nicht richtig, weil du dann nur für Elemente gezeigt hättest, die linksinvers zu irgendetwas sind. Es könnte aber auch gut Elemente der Gruppe geben, die nicht linksinvers zu irgend etwas sind.

Beim Beweis des Vollinversen fängst du leider gleich falsch an. Wieso sollte gelten, es ist doch genau anders herum. Da nimmst du ja schon an, dass das linksinverse Element von auch rechtsinvers ist, das willst du doch gerade zeigen!

Der letzte Teil, wo du die Vollneutralität aus der anderen Eigenschaft folgerst, ist aber richtig.
 
 
Ersti218 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ich verstehe den Fehler im ersten Beweis,
allerdings müsste es doch eigentlich erlaubt sein zu sagen dass



und diese Aussage über Umformung zu beweisen.

Alternativ kann man auch sagen

|

Dass formt man einfach wider um auf



und weil das Linksinverse Element von b links mit b verknüpft haben ist gezeigt dass

Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die zu zeigende Aussage hinschreiben und dann umformen geht nur, wenn es sich um Äquivalenzumformungen handelt. Die Multiplikation von rechts ist aber keine solche, das ist ja genau der Punkt dabei, dass es keine rechtsinversen gibt.

Deine Alternative funktioniert, es ist aber sehr unüblich, das dann so aufzuschreiben. Man würde das eher so schreiben:

.
Ersti218 Auf diesen Beitrag antworten »

Also würde es über die andere Schreibweise



soweit gehen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast da nur einmal ein statt einem geschrieben, das ist falsch. Ansonsten geht das so.

Du musst aber darauf achten, auch richtig einzuführen. Das war mir nur aus dem Zusammenhang klar.

Zitat:
jetzt ersetzt man e aber mit den linksinversen Element von b * b

ist wieder total unverständlich. Das Inverse von ? Das wäre ein Element , für das gilt.

Du meinst doch: Sei das linksinverse Element zu . Wir ersetzen durch , es ist doch nicht so schwer, sich klar auszudrücken Augenzwinkern
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