Hyperbel Gleichung Quadrik

16.11.2018, 09:38

Fenni

Hyperbel Gleichung Quadrik

Meine Frage:
Die Aufgabenstellung lautet:
Bestimmen Sie alle Parameter s e R, für welche die Gleichung
(sx1)^2 + 2x1x2 + x2^2 - 2x1 - 2x2 + s + 1 = 0
eine Hyperbel beschreibt.
(Hinweis: Die Transformation der Gleichung in Normalform ist dazu nicht notwendig.)

Meine Ideen:
Wie komme ich denn auf s wenn ich die Gleichung nicht in Normalform bringen muss?
Ich weiß das die Gleichung für eine Hyperbel x^2 - y^2 = 1

16.11.2018, 10:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fenni
Ich weiß das die Gleichung für eine Hyperbel x^2 - y^2 = 1

Das ist nur eine mögliche Hyperbel.

Maßgeblich ist die Eigenwertstruktur der symmetrischen Matrix der "quadratischen" Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} s^2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

1) Ist ein Eigenwert Null, so liegt eine Parabel vor.

2) Sind beide Eigenwerte positiv oder beide negativ, dann liegt eine Ellipse vor.

3) Ist ein Eigenwert positiv und einer negativ, so liegt eine Hyperbel vor.

Glücklicherweise ist in Dimension 2 (wie hier) eine Zuordnung zu den drei Fällen einfach per Determinantewert $\begin{eqnarray*} \det(A) \end{eqnarray*}$ möglich:

Wert 0 gehört zu Fall 1), >0 zu 2) und entsprechend <0 zu 3).

Für Dimension >2 ist die Sache etwas komplizierter, aber damit müssen wir uns jetzt hier nicht herumschlagen. Augenzwinkern

P.S.: Bei 1)2)3) gibt es je nach Parameterlage auch entartete Randfälle:

Bei 1) wären das eine Gerade, zwei parallele Geraden, oder gar ein "leerer" Graph.

Bei 2) kann die Ellipse auf einen Punkt schrumpfen, oder ebenfalls leer sein.

Bei 3) besteht der Entartungsfall in einem Paar sich schneidender Geraden.

Ich muss das hier erwähnen, da das etwa in dem für $\begin{eqnarray*} s=\pm 1 \end{eqnarray*}$ relevanten Fall 1) hier passiert. Augenzwinkern

19.11.2018, 16:01

Fenni

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okey super, vielen Dank!

20.11.2018, 14:13

Fenni

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Jetzt hänge ich bei den Eigenwerten
charakteristisches Polynom: $\begin{eqnarray*} s^{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} s^{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ^2 - 1 = 0

Ist das richtig?

Wie komme ich da auf die Eigenwerte?

20.11.2018, 14:45

HAL 9000

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Ich hatte oben ja eigentlich was gesagt, von wegen Dimension 2 und die dort mögliche Rückführung ausschließlich auf den Determinantenwert ... Du willst dennoch die längere Variante gehen?

20.11.2018, 14:50

Fenni

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Möchte das mit dem charakteristischen Polynom mit Parameter bisschen üben, komme damit nicht so gut klar

20.11.2018, 14:54

HAL 9000

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Ok, dann musst du halt die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda^2 - (s^2+1)\lambda + s^2-1 = 0 \end{eqnarray*}$ lösen.

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