Äquivalenz zwischen Diagonalisierbarkeit und Grad vom Minimalpolynom

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz zwischen Diagonalisierbarkeit und Grad vom Minimalpolynom
Hallo zusammen,

bei folgender Aufgabe kommt mir einfach keine Idee wie es es zeigen soll:

Sei . Zeigen Sie die Äquivlanez der folgenden Aussagen:

a) f ist diagonalisierbar
b)

Ich habe wirklich nun keinen Ansatz, ich kann mir nur logisch erklären, dass die Hinrichtung stimmt.
Ich würde mich über einen Tipp wie ich anfange, bzw. welche Eigenschaft mich zum Ziel führt, freuen smile

LG

Snexx_Math
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RE: Äquivalenz zwischen Diagonalisierbarkeit und Grad vom Minimalpolynom
Es gibt einen Zusammenhang zwischen Diagonalisierbarkeit und der Faktorisierung des Minimalpolynoms
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz zwischen Diagonalisierbarkeit und Grad vom Minimalpolynom
Also wenn f diagonalisierbar ist, dann zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren.
Also:

Wir wisse zudem, dass: für .

Also folgt, dass es zu jedem Eigenwert genau Jordanblöcke der Größe 1 gibt. Mit einem Satz aus unserer Vorlesung, besteht das Minimalpolynom aus dem Produkt aller

Also ist die Potenz dann für jeden EW 1 und somit entspricht der Grad des Minimalpolynoms der Anzahl der Eigenwerte.

Richtig ?

LG
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RE: Äquivalenz zwischen Diagonalisierbarkeit und Grad vom Minimalpolynom
Sieht für mich richtig aus.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz zwischen Diagonalisierbarkeit und Grad vom Minimalpolynom
Hast du vielleicht noch nen Tipp für die Rückrichtung ? Da hänge ich jetzt schon wieder fest unglücklich

EDIT:

Ich glaub ich habs:

[attach]48361[/attach]
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RE: Äquivalenz zwischen Diagonalisierbarkeit und Grad vom Minimalpolynom
yup
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