Anzahl der Nullstellen bestimmen

16.11.2018, 18:28

Zlux

Anzahl der Nullstellen bestimmen

Hallo,

muss da mal einen eventuellen Irrtum aufklären.
Habe hier ein Übungsblatt vor mir liegen welches mir folgende Fragen stellt:

1. Schreibe ein Polynom f(x). Der Graph von f(x) soll genau zwei Nullstellen besitzen und dritten Grades sein.
2. Besitzt der Graph $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{12}-x^{7}+5x-2 \end{eqnarray*}$ mindestens 2 Nullstellen?
3. Es gibt ein Polynom dritten Grades und ein Polynom zweiten Grades, die sich nicht schneiden?

1. Da eine kubische Funktion meines Erachtens 1-3 Nullstellen haben kann, wie stelle ich die Anzahl der Nullstellen in der Formel dar? :S Habe Google gefragt, es steht aber überall dass der Grad auch die Anzahl der Nullstellen ist. Aber das stimmt nicht. Ist doch nur die Anzahl der maximalen Nullstellen, oder?

2. Selbes Problem. Wo kann ich die Anzahl der tatsächlichen Nullstellen ablesen? Zum Ausrechnen ist mir leider kein Weg bekannt,ohne vorgegebene oder zu erratene Nullstelle. Bei dieser Gleichung ist mir so erstmal keine ersichtlich. Ich weiß nur, dass der Graph von III nach I verläuft und die y-Achse unterhalb der x-Achse schneidet. Aber alles dazwischen... da fische ich im Dunkeln. Hat vielleicht jemand einen Tip wo man mehr Infos darüber herbekommen kann?

3. Ich denke ja. Parabel muss nur genug gestaucht sein, oder?

16.11.2018, 19:07

10001000Nick1

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RE: Anzahl der Nullstellen bestimmen

Zitat:

Original von Zlux
Habe Google gefragt, es steht aber überall dass der Grad auch die Anzahl der Nullstellen ist. Aber das stimmt nicht. Ist doch nur die Anzahl der maximalen Nullstellen, oder?

Wenn man alle komplexen Nullstellen mit ihren Vielfachheiten zählt, dann ist das genau der Grad des Polynoms. Da man hier aber anscheinend im Reellen bleiben und auch mehrfache Nullstellen nur einfach zählen soll, gilt das nicht mehr.
Wenn man eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eines Polynoms hat, kann man den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} (x-a) \end{eqnarray*}$ von dem Polynom "abspalten". Kommst du damit weiter?

Zitat:

Original von Zlux
und die y-Achse unterhalb der x-Achse schneidet.

Wenn du das weißt, bist du schon fast fertig (Stichwort: Zwischenwertsatz). Die Nullstellen sollst (und kannst) du gar nicht exakt angeben.

Zitat:

Original von Zlux
3. Ich denke ja. Parabel muss nur genug gestaucht sein, oder?

Egal, wie stark die Parabel gestaucht ist; irgendwann verläuft das Polynom dritten Grades trotzdem steiler und "holt die Parabel ein".
Schau dir dazu die Differenz der beiden Polynome an. Welchen Grad hat das Differenzpolynom?

16.11.2018, 21:31

Zlux

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Zu 1: Klar, danke. einfach mit Linear-Faktoren ein Polynom bauen.
Wäre dann ja sowas:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x+2)(x+2)(x-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+2x^2-4x-8 \end{eqnarray*}$
SPx0 (2|0)
SPx1,2 (-2|0)
-> 2 reelle Schnittpunkte

Zu 2: Ok Zwischenwertsatz hatten wir noch gar nicht angesprochen. Habe mir das eben mal angeschaut. Sieht ohne Vorwissen relativ komplex aus. Vielleicht schaffe ich es am Wochenende nochmal mich einzulesen.

Zu 3.: Oh ok. Gibt ja auch Parabeln die sich nicht schneiden wenn sie in die selbe Richtung geöffnet sind, deswegen dachte ich es geht damit auch... :S
Habe ja in der Aufgabe keine vorgegeben. Die wollten das nur allgemein wissen Augenzwinkern

Dickes Danke auf jeden Fall. Das hat mir schonmal weiter geholfen!

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