Lineare Abhängigkeit

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erstsemester Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit
Hallo zusammen,

hier habe ich wieder einmal eine interessante Aufgabe, zu der ich gerne eure Einschätzung erbeten möchte:

Für welche Parameter sind die folgenden Vektoren der Anschauungsebene linear abhängig:




Ich würde gerne die Lösung über folgendes Gleichungssystem herleiten:



Eingesetzt für Spezialfälle

Also ist für die beiden Fälle t=0,1 nur die trviale Lösung für Lambda eine Lösung des Gleichungssystems und damit sind die Vektoren linear abhängig..


Für den allgemeinen Fall ist das obige Gleichungssystem aufzulösen. Hierbei ist zu der 2. Gleichung das 2-fache der 1. Gleichung hinzuaddiert. Es ergibt sich folgende Gleichung mit reellwertigem Polynom:

Nach Ausklammern des Faktor entsteht die Normalform. Deren Lösung mit der p-q-Formel erzeugt wurde:

Grundsätzlich wäre hier eine Entscheidung derart zu treffen, dass entweder oder gilt.

Nur für die beiden t-Werte kann beliebig gewählt werden. Daraus wird gefolgert, dass in diesen Fällen die Vektoren linear abhängig sind.

Vielen Dank für eure Anregungen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Spezialfälle liefern linear linear unabhängige Vektoren und .

Das letzte Ergebnis passt fast, aber man kommt ohne aus, weil die Vektoren und genau dann linear abhängig sind, wenn gilt. (Die Schreibweise für dein Gleichungssystem verstehe ich nicht.)

Ich komme auf die quadratische Gleichung , und die hat merkwüdigerweise die Nullstellen, die du fälschlicherweise als Nullstellen der Gleichung angibst.
 
 
erstsemester Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: danke schön, ja , die das liebe VZ. immer schmuggelt es sich mit ein. Hammer

das war bei mir ein Schreibfehler. nochmals herzlichsten dank.
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