Anzahl der Versuche für ein bestimmtes Ereignis

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mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Versuche für ein bestimmtes Ereignis
Vorweg: Ich habe Threads zu praktisch demselben Beispiel gefunden, aber die Antworten dort decken nicht genau meine Frage ab und ich tu mir leider sehr schwer mit Statistik.

Es geht um die folgende Fragestellung:

Ein Nachtwächter hat 10 Schlüssel an seinem Schlüsselbund. Er möchte eine bestimmte Tür aufschließen, in deren Schloss genau einer der 10 Schlüssel passt. Das tut er, indem er die Schlüssel nacheinander durchprobiert (ergo keinen Schlüssel zweimal probiert), bis er den richtigen Schlüssel gefunden hat. Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der Versuche, die nötig sind, um den passenden Schlüssel zu finden. Man gebe die Verteilung der Zufallsgröße an.

Folgende Ansätze habe ich mir überlegt:
  1. Ich habe grundsätzlich beim ersten Versuch aufgrund von "Günstig durch möglich" die Wahrscheinlichkeit , dass ich den richtigen Schlüssel finde, und , dass ich nicht den richtigen Schlüssel finde.
  2. Ich habe mir dann ein Baumdiagramm aufgezeichnet, in dem ich pro Anzahl der Versuche die Wahrscheinlichkeit abbilde, dass ich den Schlüssel finde. Beispielsweise: Die Wahrscheinlichkeit, dass ich den Schlüssel beim dritten Versuch finde, ist (analog für alle Versuche bis 10). Das ergibt bei jeder Versuchsanzahl die Wahrscheinlichkeit , dass ich den Schlüssel finde.


Dazu habe ich ein paar grundlegende Verständnisfragen:
  1. Was ist das für eine Verteilung, die ich damit beschreibe? Und kann ich da auf anderem Wege eine fixe Verteilungsformel herausfinden, die nicht auf einem Baumdiagramm beruht?
  2. Müsste die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Schlüssel zu erwischen, nicht eigentlich steigen, je mehr "falsche" Schlüssel ich per Ausprobieren aussiebe? Das liegt vermutlich daran, dass ich in der Tabelle nicht die Wahrscheinlichkeiten kumuliere, sondern dass ich jeweils die Wahrscheinlichkeit ausrechne, dass ich z.B. beim genau dritten Versuch den richtigen Schlüssel erwische (und nicht spätestens beim dritten, also nicht auch beim 1. oder 2.), oder?
  3. Die Zufallsvariable wäre dann genau das: Wenn ich z.B. genau drei Versuche brauche, um den Schlüssel zu finden (und nicht mehr oder weniger Versuche), wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit? D.h. ich ordne z.B. in Tabellenform einer Zufallvariable mit jeweils die Wahrscheinlichkeiten zu? Ist das gefragt bei der Verteilung der Zufallsgröße?
  4. Was ist denn in dem Kontext überhaupt der Unterschied zwischen Zufallsvariable und Zufallsgröße? Ist die Menge der Zufallsgrößen die Menge der Werte, die die Variable annehmen kann?


Sorry, falls das konfus ist, in meinem Kopf ist es leider nicht besser; schon mal vielen Dank!
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Versuche für ein bestimmtes Ereignis
Eventuelle nähere Ausführungen zu Zufallsgrößen etc. möchte ich aus Zeitgründen gern anderen Helfern überlassen. Zum allgemeinen Verständnis nur folgende Einleitung:
Dass die Wahrscheinlichkeit für alle Versuchsanzahlen gleich ist, kann man sich folgendermaßen klarmachen:
Da von vornherein feststeht, dass die Schlüssel nacheinander, in der Reihenfolge, wie sie am Schlüsselbund hängen, ausprobiert werden, unterliegt letztlich nur die Auswahl des 1. Schlüssels dem Zufall. D. h. die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Schlüssel im k-ten Versuch zu finden, ist schlicht gleich der Wahrscheinlichkeit, beim 1. Versuch den Schlüssel auszuwählen, der (k - 1) Position vom richtigen entfernt ist.
Diese Konstellation ist ähnlich dem "Ziegenproblem", das gern bei der ersten Begegnung Kopfzerbrechen bereitet, aber dann völlig einleuchtend ist, wenn man einmal dahintergestiegen ist.

Im Zusammenhang mit der Schlüsselaufgabe werden alternativ auch gern folgende Abwandlungen gegeben:
Wie sieht es aus, wenn man die Schlüssel nicht der Reihe nach ausprobiert, sondern nach jedem erfolglosen Versuch
a) aus allen Schlüsseln erneut einen zufällig auswählt, bis man den richtigen gefunden hat.
b) aus den restlichen noch nicht probierten Schlüsseln erneut einen zufällig auswählt, bis man den richtigen gefunden hat.
mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Versuche für ein bestimmtes Ereignis
Zitat:
Original von klauss
Da von vornherein feststeht, dass die Schlüssel nacheinander, in der Reihenfolge, wie sie am Schlüsselbund hängen, ausprobiert werden, unterliegt letztlich nur die Auswahl des 1. Schlüssels dem Zufall. D. h. die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Schlüssel im k-ten Versuch zu finden, ist schlicht gleich der Wahrscheinlichkeit, beim 1. Versuch den Schlüssel auszuwählen, der (k - 1) Position vom richtigen entfernt ist.

Also nochmal in meinen eigenen Worten formuliert ist der Punkt der, dass ich nur genau eine zufällige Wahl treffe (und zwar am Anfang), durch die aufgrund meines Vorgehens bereits bestimmt ist, an welchem Punkt ich auf den richtigen Schlüssel stoßen werde? Daher spielen die folgenden Versuche - da ihre Erfolgswahrscheinlichkeit "determiniert" ist durch den ersten Versuch - für die Wahrscheinlichkeit keine Rolle mehr?

Zitat:
Original von klauss
Im Zusammenhang mit der Schlüsselaufgabe werden alternativ auch gern folgende Abwandlungen gegeben:
Wie sieht es aus, wenn man die Schlüssel nicht der Reihe nach ausprobiert, sondern nach jedem erfolglosen Versuch
a) aus allen Schlüsseln erneut einen zufällig auswählt, bis man den richtigen gefunden hat.
b) aus den restlichen noch nicht probierten Schlüsseln erneut einen zufällig auswählt, bis man den richtigen gefunden hat.

Ja, (a) ist auch Teil der Aufgabe, da habe ich mir folgendes überlegt:

Die Verteilung, um die es hier geht, ist die geometrische (ich frage danach, wie wahrscheinlich es ist, dass ich erst und genau beim i-ten Versuch den richtigen Schlüssel finde, ohne dass sich die Größe der Grundmenge, aus der ich wähle, verändert). Diese Wahrscheinlichkeit wird kleiner, je höher die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg, weil es immer unwahrscheinlicher wird, dass ich in den Versuchen davor nicht zumindest irgendwann mal Erfolg hatte?

Wenn ich nun auch hier die Verteilung der Zufallsgrößen angeben muss, mache ich das dann wieder in Form einer Tabelle, die anzeigt, wie wahrscheinlich es ist, beim genau i-ten Versuch den Schlüssel zu finden? D.h. ist es korrekt, mit der Formel der geometrischen Wahrscheinlichkeit vorzugehen?

Ich weiß aufgrund des Baumdiagramms, dass die Formel mir die korrekte Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse gibt, dass ich erst beim i-ten Versuch (und nicht vorher) zum ersten Mal auf den richtigen Schlüssel stoße. Meine Frage ist eher: Ist das gefragt, wenn die Aufgabenstellung nach der "Verteilung der Zufallsgrößen" fragt? Oder brauche ich da eine andere Formel/muss ich mit den Wahrscheinlichkeiten noch etwas machen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

In der Stochastik ist eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (auch zufällige Größe) eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist. Formal ist eine Zufallsgröße (von A.N. Kolmogerow ) eine Zuordnungsvorschrift, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Größe zuordnet.
Zufallsvariable stammt aus dem englischen random variable und sorgt für leichte Verwirrung.
Gerne verdichtet man die Zufallsgröße in einer Tabelle bestehend aus Zahlen als Größen und aus den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zusammen. Und fasst man Ergebnisse mit gleichen Wahrscheinlichkeiten als Ereignisse zusammen und erhält die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Deren linksseitige Aufsummation nennt man Verteilungsfunktion. Ohne genaue Spezifikation spricht man kurz von Verteilung.

a.) Wählt man aus einer Urne der Reihe nach eine Kugel mit Zurücklegen aus, dann ist die Anzahl der Versuche bis einschließlich dem ersten Treffer geometrisch verteilt. Der Erwartungswert der Versuchsanzahl ist 1/p. Die Einzelwahrscheinlichkeit eines Treffers bleibt wegen Bernoulli konstant.

b.) zieht man ohne Zurücklegen, dann ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Versuchsanzahl konstant während die Einzelwahrscheinlichkeit eines Treffers steigt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mrclndr
1. Was ist das für eine Verteilung, die ich damit beschreibe? Und kann ich da auf anderem Wege eine fixe Verteilungsformel herausfinden, die nicht auf einem Baumdiagramm beruht?

Alternativ zum Baumdiagramm kann man sich das ganze bei b) auch so vorstellen:

Man hat alle 10 Schlüssel auf einem Schlüsselring aufgefädelt und probiert die der Reihe nach durch, bis man den richtigen gefunden hat. Das Modell bei b) ist nun, dass (nach einem initialen Durchmischen bzw. eher "Durchschütteln" des Schlüsselrings) die Position des richtigen Schlüssels diskret gleichverteilt unter allen 10 Positionen ist, dementsprechend bekommt man auch jeweils Wahrscheinlichkeit , den Schlüssel in Versuch Nr. zu bekommen, und das für alle .
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