Beweis in der Mengenlehre durchführen

18.11.2018, 10:01

Pfirsich89

Beweis in der Mengenlehre durchführen

Meine Frage:
Guten Morgen smile

Ich soll einen Beweis durchführen. Die Aufgabe lautet wie folgt:
Seien L, M und N Mengen. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (L\cup M)\cup N\subseteq L\cup (M\cup N) \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Meine Ideen: Im Skript wird gesagt, dass dieser Beweis ähnlich ist wie der Beweis zum Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray*} L\cup(M\cup N) \end{eqnarray*}$
Dort wurden beispielwerte angenommen und einfach umgeformt. Ich demonstrier es mal:
Seien
$\begin{eqnarray*} L :=\left\{ 1,2,3\right\} , M:=\left\{ 3,4\right\},N:=\left\{ 3,5\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L\cup (M\cup N) = \left\{ 1,2,3\right\} \cup \left\{ 3,4\right\} \cup \left\{ 3,5\right\} =\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left\{ 3,4,5\right\} =\left\{ 1,2,3,4,5\right\} =\left\{ 1,2,3,4\right\} \cup \left\{ 3,5\right\} =(\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left\{ 3,4\right\})\cup \left\{ 3,5\right\} =(L\cup M)\cup N \end{eqnarray*}$

Ich frage mich nur: Wie soll ich so eine ähnliche Umformung bei der obigen Aufgabe machen? Deswegen steh ich auf dem Schlauch. Angemerkt sei, dass dies aus dem Skript für Wirtschaftsingenieure ist.

Und noch eine ganz andere Sache: Ich erinnere mich auf dieser Seite nicht mehr an meinen Accoundnamen, allerdings an meine E-Mail Adresse. An wen muss ich eine Mail schreiben, damit man mir meinen Accountnamen wieder mitteilt?

Vielen Dank im Voraus!

18.11.2018, 10:05

Kaffeetrinker89

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So, ich habe meinen richtigen Account wieder gefunden. Ich bin Pfirsich89. Entschuldigt den Latexfehler. Könntet ihr den korrigieren?

18.11.2018, 23:26

Pippen

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RE: Beweis in der Mengenlehre durchführen

Zitat:

Original von Pfirsich89
Seien L, M und N Mengen. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (L\cup M)\cup N\subseteq L\cup (M\cup N) \end{eqnarray*}$ gilt.

Mit Assoziativgesetz klammerst du einfach um und fertig, Gleichheit beider Mengen.

Ohne würde ich eine Fallunterscheidung machen:

Sei x in L, dann ist es sowohl in der ersten Menge als auch der zweiten, einfach Def. der Vereinigung anwenden.
Sei x in M, dann s.o.
Sei x in N, dann s.o.
Mehr Fälle gibt's nicht.
Daraus folgt: egal für welches xt, es ist sowohl in der ersten wie zweiten Menge, die damit sogar gleich sind.

Aber wie man es ohne Ass.gesetz umformt, damit der Beweis gelingt, kann ich auch nicht sagen. Morgen'sche Regeln vllt. anwenden?

Noch eine andere Möglichkeit wäre, alles in AL zu übersetzen und zu zeigen, dass das eine Tautologie ist.

19.11.2018, 07:10

Elvis

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Hier darf man kein Assoziativgesetz voraussetzen, denn im Beweis soll gezeigt werden, dass eine Richtung dieses Gesetzes gilt. Die Teilmengenrelation ist bewiesen, wenn jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus der linken Menge in der rechten Menge liegt.

Ich demonstriere hier einen Standardbeweis für eine Richtung des Kommutativgesetzes $\begin{eqnarray*} M\cup N=N\cup M \end{eqnarray*}$ , nämlich die Richtung $\begin{eqnarray*} M\cup N\subseteq N\cup M \end{eqnarray*}$

Behauptung : Für je zwei Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} M\cup N\subseteq N\cup M \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} x\in M \cup N\Rightarrow x\in M\vee x\in N\Rightarrow x\in N\vee x\in M\Rightarrow x\in N\cup M \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Die Umkehrung geht genauso, das Kommutativgesetz kann man deshalb auch so beweisen:

Behauptung : Für je zwei Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} M\cup N = N\cup M \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} x\in M \cup N\Leftrightarrow x\in M\vee x\in N\Leftrightarrow x\in N\vee x\in M\Leftrightarrow x\in N\cup M \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Wenn du das genau so für eine Richtung des Assoziativgesetzes oder für das Assoziativgesetz machst, hast du einen perfekten Beweis.

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