Flächeninhalt des Graphen der Funktion (R^3)

18.11.2018, 20:08

Knightfire66

Flächeninhalt des Graphen der Funktion (R^3)

Meine Frage:
Hallo,
es geht um die Fläche der folgenden mehrdimensionalen Funktion:
$\begin{eqnarray*} f_{2}: \left\{(x,y) \in \mathbb R | x^2+y^2\leq 81, x^2 + (y-5)^2 \geq 25 \right\} -> \mathbb R , (x,y) -> x+y \end{eqnarray*}$

laut geogebra sieht das so aus. ich brauche die fläche innerhalb des bl. zylinders und außerhalb des roten... oder?
[attach]48364[/attach]

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \int_{0}^{2\pi } \! r*\sqrt{3} \, dr \, d\phi \end{eqnarray*}$

weiß aber nicht was ich für a und b einsetzen soll. a ist wahrscheinlich 0. aber b?
mfg

19.11.2018, 00:13

Knightfire66

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RE: Flächeninhalt des Graphen der Funktion (R^3)
vielleicht 8.1?

19.11.2018, 10:15

HAL 9000

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Zylinder? $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ? Für mich sieht das alles noch ziemlich zweidimensional aus. Augenzwinkern

Du wirst nicht umhinkommen, irgendwann die Schnittpunkte der beiden Kreise zu ermitteln: Dein "vielleicht 8.1" stimmt insoweit, dass das die y-Koordinate der beiden Schnittpunkte ist. Augenzwinkern

Wie du das mit deinen Polarkoordinaten ausknobelst, musst du sehen. Ich konzentriere mich mal auf den kartesischen Ansatz und stelle basierend auf obiger Skizze folgenden Ansatz für die gesuchte Fläche auf:

$\begin{eqnarray*} |F_2| = \frac{\pi}{2}9^2 + 2\int\limits_0^{8.1} \left(\sqrt{81-y^2}-\sqrt{25-(y-5)^2}\right) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Möglich ist auch, das ganze geometrisch als Differenz zweier Kreissegmente aufzufassen, und mit den dort gängigen Flächenformeln zu operieren - dann kann man sich die Integration sparen. Augenzwinkern

EDIT: Upps, den hinteren Teil

Zitat:

Original von Knightfire66
$\begin{eqnarray*} (x,y) -> x+y \end{eqnarray*}$

hatte ich gar nicht für voll genommen, gemeint ist ja sicher auch eher $\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto x+y \end{eqnarray*}$ . Ok, dann hast du natürlich Recht, aber diese Fläche geht natürlich in einfacher Weise aus der oben von mir berechneten Grundfläche hervor, multipliziert mit einem geeigneten Faktor, der sich aus der Neigung der Ebene $\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto x+y \end{eqnarray*}$ gegenüber der Grundebene ergibt.

19.11.2018, 12:02

Knightfire66

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ok ich glaube habs etwas verstanden...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |F_2| = \frac{\pi}{2}9^2 + 2\int\limits_0^{8.1} \left(\sqrt{81-y^2}-\sqrt{25-(y-5)^2}\right) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

du hast die beiden gebenen Kreise nach x und y umgeformt und in x+y eingesetzt...
den rest verstehe ich nicht... wie kommt alles vor dem integral zustande?

Zitat:

hatte ich gar nicht für voll genommen, gemeint ist ja sicher auch eher (x,y)↦x+y. Ok, dann hast du natürlich Recht, aber diese Fläche geht natürlich in einfacher Weise aus der oben von mir berechneten Grundfläche hervor, multipliziert mit einem geeigneten Faktor, der sich aus der Neigung der Ebene (x,y)↦x+y gegenüber der Grundebene ergibt.

ich denke, dass der Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist... aus... r* $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ dr d $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ... folgt aus flächenformel und für x und y polarkoordinaten, dann kommt $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ raus...
mfg

19.11.2018, 12:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Knightfire66
den rest verstehe ich nicht... wie kommt alles vor dem integral zustande?

Schau einfach mal nur in den ersten Quadranten meiner Skizze - und immer dran denken, es wird nicht über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sondern über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integriert:

Das Integral oben in meiner Formel beschreibt die Fläche rechts der roten Kreislinie, aber links der grünen Kreislinie innerhalb dieses ersten Quadranten. Natürlich darf dieses Integral nur bis zur $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinate des Schnittpunktes der beiden Kreise gehen, und die ergibt sich gemäß Auflösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2-81=x^2+(y-5)^2-25 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} y=8.1 \end{eqnarray*}$ .

Diese Fläche im ersten Quadranten verdoppelt (wegen des symmetrisch gelegenen Teils im zweiten Quadranten) plus den gesamten unteren Halbkreis ergibt die von mir o.g. Flächenformel.

Zitat:

Original von Knightfire66
ich denke, dass der Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist...

Stimmt.

19.11.2018, 12:50

Knightfire66

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ok ich verstehe...da gibt es keine formel, sonodern du hast das schritt für schritt selbst aufgestellt... habs jetzt wirklich verstanden smile

nun einfach * $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ? oder muss ich da 2pi* $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ machen?
mfg

19.11.2018, 13:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Knightfire66
nun einfach * $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ?

Das hier. Die $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -Faktoren bzw. -anteile (soweit nötig) ergeben sich durch die Grundflächenberechnung.

19.11.2018, 18:13

Leopold

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Soll hier überhaupt eine Fläche berechnet werden? Oder nicht doch eher das Integral

$\begin{align*} \int_B (x+y) ~ \dd (x,y) \end{align*}$

über den angegebenen Schnittbereich $\begin{align*} B \end{align*}$ ? verwirrt

(Ich habe für den Integralwert $\begin{align*} - \frac{1}{20} \left( 5000 \arcsin \left( \frac{9}{10} \right) + 279 \sqrt{19} \right) \end{align*}$ herausbekommen.)

25.11.2018, 16:07

Knightfire66

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ok danke euch Big Laugh

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