Beweis einer Gruppe

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Asg Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Gruppe
Hallo zusammen,

Aufgabe:

Für welche ist eine Gruppe?
kann als bereits bewiesen vorausgesetzt werden.

Meine Lösung:

Für alle Primzahlen . Richtig?

Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass die Menge mit tatsächlich anfängt bzw. sie enthält und ist nicht enthalten. Wenn es so ist, dann kann nicht gleich sein, denn dann aber ist nicht in der Gruppe.
kann auch nicht sein, denn dann würde wieder in der Gruppe sein und außerdem hätte kein inverses Element.
kann ohnehin nicht sein wegen Division durch

Ich muss natürlich die Gruppen-Axiome für Primzahlen zeigen. Aber muss ich auch zeigen, warum alle anderen natürlichen Zahlen für nicht in Frage kommen?
Das scheint mir etwas schwieriger. Ich müsste dazu zeigen:



Muss ich das wirklich zeigen?

Danke vorab für jede Hilfe.

Viele Grüße

Asg
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gruppe für alle Primzahlen, auch für n=2.
Für Teiler m von n multipliziere mit dem Komplementaerteiler n/m.
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ElvisGruppe für alle Primzahlen, auch für n=2.

Dann sind 1 und 2 keine fest vorgegebene Elemente in ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, für ist . Definitionen mit Pünktchen sind immer ungenau und müssen sinngemäß interpretiert werden. Richtig und besser wäre die Definition der zugrundeliegenden Mengen als (wobei keine natürliche Zahl ist).
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Zitat:
Original von Elvis
Nein, für ist . Definitionen mit Pünktchen sind immer ungenau und müssen sinngemäß interpretiert werden.

Ok, dann für alle Primzahlen ist das Tupel eine Gruppe.

Zitat:
Original von Elvis
Richtig und besser wäre die Definition der zugrundeliegenden Mengen als (wobei keine natürliche Zahl ist).

In unserem Skript ist eine natürliche Zahl. Das muss ich berücksichtigen.
Du meinst:
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine
 
 
Asg Auf diesen Beitrag antworten »
[gelöst]
Alles klar.
Danke für deine Unterstützung.

Viele Grüße
Asg
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen ...

... eigentlich war meine erste Definition doch besser, denn sie gibt auch eine Gruppe für , dagegen ergibt die leere Menge für .

für passt am besten zu deiner Originalaufgabe.
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
... eigentlich war meine erste Definition doch besser, denn sie gibt auch eine Gruppe für , dagegen ergibt die leere Menge für .


Stimmt. Trotzdem wäre die erste Definition wegen nicht richtig. Es müsste heißen, denn es soll gelten

Zitat:
Original von Elvis
für passt am besten zu deiner Originalaufgabe.


Bzw. man könnte weglassen, da über abgefangen wird, wenn ich es richtig sehe. Dann würde deine Definition lauten:
für

Vermeidet man eigentlich mit dieser Definition, dass für z. B. die Menge produziert wird? Denn alle Elemente sind ja kleiner als aber es fehlen ja

Losgelöst von der aktuellen Aufgabe:
Wie sieht denn die intensionale Definition aller Mengen, deren Elemente von bis ohne Lücke sein können mit aus?

Also dass z. B. für die folgenden Mengen gültige Mengen sind:







Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist eindeutig definiert als Menge aller natürlichen Zahlen ungleich , die kleiner als sind.
Die von dir angegebenen Mengen heißen nach dieser Definition
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
ist eindeutig definiert als Menge aller natürlichen Zahlen ungleich , die kleiner als sind.
Ok

Zitat:
Original von Elvis
Die von dir angegebenen Mengen heißen nach dieser Definition

Ok, d.h. jede der Mengen müsste einzeln definiert werden, richtig?

Kann man allgemein sagen, dass Mengen bei extensionaler Definition sowieso, aber auch bei intensionaler Definition immer eindeutig definiert sind? Mit anderen Worten eine intensionale Definition einer Menge produziert immer eine einzige und eindeutige Menge.
Ist das richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

für definiert alle Mengen simultan. Diese Definition hatten wir oben schon einmal. bis sind nur die ersten sieben von unendlich vielen Mengen. Für Primzahl werden daraus mit der Multiplikation modulo unendlich viele Gruppen. Für nicht Primzahl werden das keine Gruppen, wie wir oben schon bewiesen haben, denn die Nichtprimzahlen haben einen echten Teiler mit .

Egal wie eine Menge definiert wird, sie ist immer eindeutig bestimmt und man weiß im Prinzip, ob ein Objekt Element der Menge ist oder nicht. Dass man es im Prinzip weiß, heißt nicht, dass man es immer in endlicher Zeit oder überhaupt nachweisen kann. Darauf kommt es aber auch nicht an.

Georg Cantor: "Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen."
Asg Auf diesen Beitrag antworten »
Gelöst
Hallo,

danke für die weitere Erklärung. Nun ist mir klar geworden.

Viele Grüße

Asg
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