Koordinaten von Dreieckspunkten abschätzen

19.11.2018, 13:53

Thomas7

Koordinaten von Dreieckspunkten abschätzen

Hallo miteinander

Ich habe ein Referenzdreieck $\begin{eqnarray*} \hat{t} \end{eqnarray*}$ mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} \hat{A_1} = (0,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \hat{A_2} = (1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \hat{A_3} = (0,1) \end{eqnarray*}$ gegeben. Nun sei $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ein Dreieck mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} A_1 = (0,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_2 = (h_1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_3 = (0,h_2) \end{eqnarray*}$ . Zudem gelte: $\begin{eqnarray*} \hat{u} := u \circ F_t \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} F_t : \hat{t} \to t \end{eqnarray*}$ die affine Abbildung ist mit $\begin{eqnarray*} F_t(\hat{A_i}) = A_i \end{eqnarray*}$ für i = 1, 2, 3.

Wie kann ich nun geschickt die Konstante C in der folgenden Abschätzung bestimmen? $\begin{eqnarray*} \max \{h_1^{-1}, h_2^{-1}\} \leq C h_t^{-1} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ der Durchmesser (d.h. der Umkreis) des Dreiecks ist.

So wie ich es verstehe, würde "geschickt abschätzen" heissen, dass ich C in Abhängigkeit der Formregularitätskonstante abschätze, oder?
Letztere haben wir wie folgt definiert:
[attach]48368[/attach]

Die Frage bleibt aber: Wie mache ich das am besten?

Danke für jeden Hinweis!

20.11.2018, 09:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, relevant erscheint mir nur dies:

Zitat:

Original von Thomas7 (leicht ergänzt bzw. umformuliert)
Dreieck mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} A_1 = (0,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_2 = (h_1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_3 = (0,h_2) \end{eqnarray*}$ . [...]

Wie kann ich nun geschickt die Konstante C in der folgenden Abschätzung bestimmen? $\begin{eqnarray*} \max \{h_1^{-1}, h_2^{-1}\} \leq C h_t^{-1} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ der Durchmesser des Umkreises des Dreiecks $\begin{eqnarray*} A_1A_2A_3 \end{eqnarray*}$ ist?

Das Dreieck $\begin{eqnarray*} A_1A_2A_3 \end{eqnarray*}$ ist rechtwinklig, daher entspricht der Umkreisdurchmesser der Hypotenusenlänge, es ist somit $\begin{eqnarray*} h_t=\sqrt{h_1^2+h_2^2} \end{eqnarray*}$ .

Verstehe ich das richtig: Du suchst nun ein $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} h_1>0,h_2>0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \max \left\{h_1^{-1}, h_2^{-1} \right\} \leq C h_t^{-1} = \frac{C}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} \end{eqnarray*}$ gilt? (*)

Ein solches $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gibt es nicht: Nehmen wir beispielsweise $\begin{eqnarray*} h_2=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 0<h_1\leq 1 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \max \left\{h_1^{-1}, h_2^{-1} \right\} = \frac{1}{h_1} \to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h_1\searrow 0 \end{eqnarray*}$ ,

während rechts beim gleichen Grenzübergang $\begin{eqnarray*} \frac{C}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}\to C \end{eqnarray*}$ herauskommt. Damit funktioniert (*) nicht. unglücklich

Sofern es also keine zusätzlichen Einschränkungen an $\begin{eqnarray*} h_1,h_2 \end{eqnarray*}$ gibt, die ich so deinem Scan bzw. den anderen Ausführungen nicht entnehmen kann, klappt das mit der Wahl eines $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nicht. unglücklich

Was mich zusätzlich noch irritiert: In dem Scan ist von Potenzen $\begin{eqnarray*} h_{\tau}^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq d \end{eqnarray*}$ die Rede, in deiner gewünschten Abschätzung tauchen aber $\begin{eqnarray*} h_{\tau}^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=-1 \end{eqnarray*}$ auf. Allerdings liegen für mich die Zusammenhänge des Scans mit deiner Abschätzung sowieso komplett im Dunkeln, also muss das vielleicht auch nichts bedeuten. verwirrt

P.S.: Eine Konstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \max \left\{h_1, h_2 \right\}^{-1} = \min \left\{h_1^{-1}, h_2^{-1} \right\} \leq C h_t^{-1} \end{eqnarray*}$ gibt es, und zwar einfach $\begin{eqnarray*} C=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Aber das war ja nicht die Frage. Augenzwinkern

21.11.2018, 12:36

Thomas7

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000

Vielen Dank für deine Inputs!
Ich dachte erst, dass es gar ein Widerspruch sei. Doch nein...die Aufgabe sei ganz bewusst so gewählt. Auch der von dir erwähnte (Spezial-)Fall sei ganz OK, ein Widerspruch gebe es auch hier nicht, wenn man die Konstante C in Abhängigkeit der Formregularitätskonstante angibt...

Neue Frage »

Antworten »

Koordinaten von Dreieckspunkten abschätzen

Verwandte Themen