Konvergenz schließlich konstanter Folgen

19.11.2018, 21:21

besbes

Konvergenz schließlich konstanter Folgen

Meine Frage:
Eine Folge $\begin{eqnarray*} \left\{ x_{n} \right\} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ heißt schließlich konstant, wenn es ein $\begin{eqnarray*} N\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für je zwei $\begin{eqnarray*} n_{1} , n_{2} \in \mathbb N , n_{1} , n_{2} > N gilt x_{n1} = x_{n2} \end{eqnarray*}$
Bezüglich der diskreten Metrik ist jede konvergente Folge schließlich konstant.

Ist diese Aussage wahr oder falsch? Mit einer kurzen Begründung damit ich weiß wie ich das beweisen soll.

Meine Ideen:
Den Beweis übernehme ich dann selbst.

Vielen Dank schon mal im Voraus!

19.11.2018, 22:38

Leopold

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Es sei $\begin{align*} d \end{align*}$ die diskrete Metrik. Die Folge der $\begin{align*} x_n \end{align*}$ besitze bezüglich $\begin{align*} d \end{align*}$ den Grenzwert $\begin{align*} x \end{align*}$ . Dann gibt es zu jedem reellen $\begin{align*} \varepsilon > 0 \end{align*}$ eine natürliche Zahl $\begin{align*} N \end{align*}$ mit

$\begin{align*} d \left( x_n,x \right) < \varepsilon \ \ \text{für alle} \ \ n \geq N \end{align*}$

Was bedeutet die letzte Aussage zum Beispiel für $\begin{align*} \varepsilon = 0{,}83541 \end{align*}$ ?

19.11.2018, 22:55

besbes

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dass sie nicht konstant ist?

19.11.2018, 22:59

Leopold

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Zitat:

Original von besbes
dass sie nicht konstant ist?

Nein. Du mußt die Eigenschaften der diskreten (!!!) Metrik verwenden. Schau in deinen Unterlagen nach, wie die definiert ist. Ohne Grundlagenkenntnisse in den Fachbegriffen kann man keine Aufgaben lösen.

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