Ungleichung beweisen

20.11.2018, 17:48	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen Hallo Leute, ich soll für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \in (0,1] \end{eqnarray}$ folgende Ungleichung beweisen: $\begin{eqnarray} <br /> \left(1+\frac \alpha 2 x^2\right)^{\frac 1 2} \le \left(1+x^2\right)^{1-\frac \alpha 2}.<br /> \end{eqnarray}$ Mein Ansatz war, alles auf eine Seite zu bringen und zu zeigen, dass das Minimum der daraus erhaltenen Funktion größer/gleich 0 ist. Aber das habe ich nicht geschafft, weil die Ableitungen noch komplizierter werden. Hat jemand eine Idee, wie man so etwas am besten beweist? LG daLoisl
20.11.2018, 18:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} g(t) := (1+t)^{2-\alpha} - 1 - \frac{\alpha}{2}t \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\geq 0 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} g'(t) := (2-\alpha)\cdot (1+t)^{1-\alpha} - \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ damit folgt $\begin{eqnarray} g'(t) \geq 2-\alpha-\frac{\alpha}{2} = 2-\frac{3}{2}\alpha \geq \frac{1}{2} > 0 \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend, speziell gilt somit $\begin{eqnarray} g(t)\geq g(0)=0 \end{eqnarray}$ . Das gilt natürlich auch, wenn man $\begin{eqnarray} t=x^2 \end{eqnarray}$ einsetzt. Möglich wäre auch die Bernoullische Ungleichung in der Fassung für reelle Exponenten gewesen. Aber diese Variante ist relativ unbekannt, vermutlich darfst du die im Beweis nicht verwenden.
20.11.2018, 18:22	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Dank. Ich bin da jetzt sehr lange davorgesessen und habe es einfach nicht gesehen. Aber so wie du das machst, ist alles klar. Dankeschön!

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