Zahlentheorie – Kettenbruch in irrationale Zahl

20.11.2018, 21:07	InaAldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie – Kettenbruch in irrationale Zahl Hallo! Folgende Kettenbruchsaratellungen sollen in eine irrationale Zahl umgewandelt werden: $\begin{eqnarray} \left[0;\vec{1,2,3} \right] und \left[42;\vec{4,2} \right] \end{eqnarray}$ Wobei an Stelle des Vektorzeichens über den Zahlen nach dem Semikolon ein Periodenstrich stehen soll. Für den ersten habe ich folgenden euklidischen Algorithmus raus: $\begin{eqnarray} \left[0;\vec{1,2,3} \right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1= 3\cdot 3+ 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3= 1\cdot 2+ 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10= 1\cdot 1+ 0 \end{eqnarray}$ Daraus habe ich dann folgende Gleichung aufgestellte: $\begin{eqnarray} \Rightarrow x= \frac{4+ 2x}{10+ 3x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4+ 2x= x\cdot \left(10+ 3x\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= 3x^{2} + 8x- 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= x^{2} + \frac{8}{3} - \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{4}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{3} \right) ^{2}+ \frac{4}{3} } \end{eqnarray}$ Für den zweiten habe ich folgenden euklidischen Algorithmus raus, den ich über „2 Perioden berechnet habe: $\begin{eqnarray} \left[42;\vec{4,2} \right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 49= 20\cdot 4+ 9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 20= 3\cdot 2+ 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 9= 3\cdot 4+ 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2= 3\cdot 2+ 0 \end{eqnarray}$ Weiter komme ich nicht... Könnte mir einer sagen, ob die erste Rechnung stimmt und was ich bei der 2. Darstellung machen muss. Danke,
24.11.2018, 01:01	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie – Kettenbruch in irrationale Zahl Periodenstrich kannst Du mit "\overline{...}" erzeugen. Demnach müßte es um $\begin{eqnarray} \left[0;\overline{1,2,3}\right] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left[42;\overline{4,2}\right] \end{eqnarray}$ gehen. Bei Nr. 1 dürftest Du Dich verrechnet haben, denn es sollte die Gleichung $\begin{eqnarray} x=\frac{7+2x}{10+3x} \end{eqnarray}$ entstehen. Da ich mich mit diesem Thema erst seit kurzem nebenbei beschäftige und meinen eigenen Rechenweg benutze (nicht den euklidischen Algorithmus), kann ich Deinen Ansatz zur Nr. 2 leider so nicht aufgreifen. Ich habe mir jedoch von WolframAlpha bestätigen lassen, dass meine beiden Lösungen richtig sind.

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