Komplexes Integral

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21.11.2018, 09:48	Leon145	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Integral Hallo, es geht um folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^{ 2 \pi} sin^{2 k} x dx = 2 \pi 4^{-k} \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man soll zeigen, dass das gilt, indem man sich auf ein komplexes Kurvenintegral zurückzieht entlang des Einehitskreises. Also die 1. Idee war den sinus mit der Exponentialfunktion umzuschreiben. Oder man versucht die Cauchy Imtegralformel anzuwenden auf die Funktion $\begin{eqnarray} f(z) = sin^{2 k} z \end{eqnarray}$ . Ich verstehe nicht, inwiefern man sich bei diesem reellen Integral auf ein komplexex zurückzieht? Welche Variante wäre die richtige?
21.11.2018, 11:18	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Idee mit der Exponentialfunktion ist doch ganz gut. Damit erhälst du $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2k} dx = \int_{S^1}\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^{2k}\frac{1}{iz}~dz \end{eqnarray}$ . Das kannst du nun ausrechnen.
21.11.2018, 11:21	Leon145	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wandelst du das $\begin{eqnarray} e^{ix} \end{eqnarray}$ usw in z um? Das ist wsl der entscheidende Trick, wie man zum komplexen Integral kommt?
21.11.2018, 11:25	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies das doch einmal rückwärts. Wie ist das Kurvenintegral rechts denn definiert?
21.11.2018, 12:13	Leon145	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok du setzt für $\begin{eqnarray} z=e^{ix} \end{eqnarray}$ ein. Und dann muss das Bogenelement ja der Mehrwert sein. Aber warum darf man das überhaupt so machen. Man setzt doch das komplexen z mit etwas Reellen gleich?
21.11.2018, 13:01	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, ich benutze einfach nur die Definition des komplexen Kurvenintegrals. Wenn dir das nicht klar ist, Schlag die Definition davon nach. Das hat dann nichts mit der Aufgabe zu tun, sondern es gibt noch grundlegende Verständnisschwierigkeiten mit dem Kurvenintegral.
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21.11.2018, 13:17	Leon145	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso dann ist das ursprüngliche Integral gar nicht reellwertig. Ich verstehe schon das Kurvenintegral. Man setzt die Paramtrisierung. dx ist das Bogenelement also [/list] $\begin{eqnarray} \gamma'(t) dt \end{eqnarray}$ oder nicht?
21.11.2018, 13:28	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Weg ist in diesem Fall die Standardparametrisierung des Einheitskreises. Setz das doch Mal ein mit der Definition des Kurvenintegrals und schau, ob die Umformung stimmt. Das ursprüngliche Integral ist übrigens schon reelwertig. Das komplexe Kurvenintegral später dann auch, das sieht man nur nicht so leicht.
21.11.2018, 13:36	Leon145	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war ja meine Frage, warum so einfach zum komplexen Fall übergeht. Der Integrand ist mit $\begin{eqnarray} z=e^{ix} \end{eqnarray}$ klar. $\begin{eqnarray} dz= i e^{ix} dx = i z dx \end{eqnarray}$ Wo sieht man das der Übergang zum Komplexen gerechtfertigt isr?
21.11.2018, 13:43	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Frage nicht und ich erkläre dir kurz, wieso. Nehmen wir an, du siehst, ohne die ursprüngliche Aufgabe zu kennen, folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^{2k}\frac{1}{iz}~dz \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \gamma:[0,2\pi]\to\mathbb C, t\mapsto e^{it} \end{eqnarray}$ . Du kannst doch jetzt anhand von diesem Integral prüfen, ob die Voraussetzungen für die Definition für komplexe Kurvenintegrale erfüllt sind, das heißt: Ist der Weg differenzierbar, ist der Integrand auf der Spur des Weges stetig. Ist dies erfüllt, ist per Definition $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^{2k}\frac{1}{iz}~dz = \int_0^{2\pi}\left(\frac{\gamma(t)-(\gamma(t))^{-1}}{2i}\right)^{2k}\frac{1}{i\gamma(t)}\gamma'(t)~dt \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt dies ausrechnest, kommst du wieder bei deinem Integral aus der Aufgabe an. Wenn diese Gleichung aber richtig ist, ist es doch egal, in welche Richtung du sie liest. Was du hier also noch an Rechtfertigung willst, verstehe ich ganz ehrlich einfach nicht. Kannst du bitte etwas näher erläutern, was an dem Anwenden dieser Definition nicht gerechtfertigt ist?
21.11.2018, 13:55	Leon145	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ich verstehe es jetzt denke ich. Mir ging es einfach darum, wie man einfach von einem reellen Integral auf ein komplexes Kurvenintegral schließt, denn für reelle Integranden gelten doch ganz andere Eigenschaften als für komplexe Aber wenn die Voraussetzungen für das komplexe Kurvenintegral erfüllt sind, kann man es wohl einfach so transformieren. Vllt hat mich verwirrt, dass ja die komplexen Zahlen mit den imaginären Zahlen eine größere Menge bilden.. Verstehst du mich?
21.11.2018, 14:48	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist natürlich schon eine Art "Trick", den Umweg über die komplexen Zahlen zu gehen. Um es zu verstehen, muss man es von der anderen Seite betrachten.
21.11.2018, 17:21	Leon145	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst also wie du es betrachtet hast?
22.11.2018, 09:17	Leon145	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann erhalte ich für das Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^{ 2 \pi} \frac{1}{ 4^k \cdot i^{2k+1}} \frac{(z+z^{-1})^{2k}}{z} dz \end{eqnarray}$ Wo fehlt denn das i weg. Wenn man den binomischen Lehrsatz auf den z- Teil anwendet, fällt das ja nicht raus?
22.11.2018, 12:54	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Grenzen des Integrals sind falsch. Es handelt sich nun um ein Kurvenintegral über den Einheitskreis, nicht um ein Integral über das Intervall. Dadurch hebt sich dann bei der Berechnung das i wieder weg.
22.11.2018, 14:31	Leon145	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso dann ist es $\begin{eqnarray} int_{\|z\|=1} \end{eqnarray}$ und dann von der Form nach allen Rechenschritten: s $\begin{eqnarray} int_{\|z\|=1} z^k \end{eqnarray}$ und das hat ja nur für k=-1 ungleich 0. Dann kürzt sich auch das i. Danke dir Ich habe es endlich verstanden

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