Textaufgabe zu Reihen/Folgen

21.11.2018, 11:57	Shroomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Textaufgabe zu Reihen/Folgen Meine Frage: Hallo, Stehe leider bei folgenden Aufgabe etwas auf dem Schlauch: Der Turm von Babel werde durch Aufeinanderstapeln von Würfeln $\begin{eqnarray} W_{n} \end{eqnarray}$ mit Volumen $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{3} } \end{eqnarray}$ nachgebaut, wobei n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ N. Die Bodenfläche von $\begin{eqnarray} W_{n+1} \end{eqnarray}$ werde dabei auf die Mitte der Dachfläche von $\begin{eqnarray} W_{n} \end{eqnarray}$ gesetzt. (i) Wie hoch wird der Turm? (ii) Kann der Turm mit endlich viel Farbe angestrichen werden? (iii) Kommt man mit endlich viel Beton aus, wenn jeder Würfel ganz aus Beton besteht? Meine Ideen: Zuerst mal müsste man das ganze wohl als Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{} \frac{1}{n^{3} } \in \end{eqnarray}$ betrachten. Das würde ja dann schon nahe legen dass der Grenzwert irgendwo zwischen 1 und $\begin{eqnarray} \frac{\pi ^{2} }{6} \end{eqnarray}$ liegt. Die Höhe wäre also begrenzt, aber den genauen Wert habe ich damit noch nicht, ich kann nur sagen der Turm wird nicht höher als... Zur (ii) und (iii): Die Oberfläche Verhält sich ja anders als die Höhe, da pro Würfel ja mehr Fläche entsteht. Ich würde also annehmen dass man NICHT mit endlich viel Farbe auskommt aber dafür schon mit endlich viel Beton. Weiß aber auch nicht wie ich das ganze beweisen soll. Hoffe mir kann jemand helfen. LG
21.11.2018, 12:18	Shroomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder muss ich für Höhe, Fläche, Volumen jeweils eine eigene Reihe betrachten? Die für das Volumen wäre dann ja $\begin{eqnarray} m^{3} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{} \frac{1}{n^{3} } \end{eqnarray}$ demzufolge wäre für die Fläche: $\begin{eqnarray} m^{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{} \frac{1}{n^{3} } } \cdot 6 \end{eqnarray}$ und für die Höhe: m= $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{\sum\limits_{n=1}^{} \frac{1}{n^{3} } } \end{eqnarray}$ Kann man da so herangehen?
21.11.2018, 12:35	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Höhe eines Blocks ist 1/n, also divergiert die Reihe 1/1+1/2+1/3 ...
21.11.2018, 12:50	Shroomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also für die Höhe nimmt man $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ was ja divergiert. Für die Fläche dann $\begin{eqnarray} 6\cdot \sum\limits_{n=1}^{} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray}$ . Das wäre konvergent mit Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{6\pi ^{2} }{6} = \pi ^{2} \end{eqnarray}$ . Und Volumen wäre mit $\begin{eqnarray} \cdot \sum\limits_{n=1}^{} \frac{1}{n^{3}} \end{eqnarray}$ dann wohl auch konvergent. Richtig?
21.11.2018, 13:06	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Fläche fällt noch etwas weg, da die Klötze ja aufeinander liegen und darum nicht alles gestrichen werden muss. Die Frage war aber nur "ob" und nicht "wieviel". Also kann man schon so, wie du geschrieben hast argumentieren.
21.11.2018, 13:24	Shroomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar vielen Dank!! Ja hab auch schon gemerkt dass die Würfel wahrscheinlich nicht gestrichen werden sollen bevor man sie aufeinander legt. LG nochmal
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21.11.2018, 13:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die Würfel erst streichen und danach auf einander bauen lassen. Man kann ja nur ganz wenig (endlich viel) Farbe sparen, wenn man es anders herum macht. Andererseits erspart man dem Maler, seine Farbe immer höher schleppen zu müssen. Wenn er jedes mal wieder absteigen und aufsteigen muss, wenn ein Eimer Farbe leer ist, wird der unendlich lange Weg unerträglich mühsam. Nachtrag: Nein, das stimmt ja gar nicht, weiter oben genügt ja ein Eimer Farbe. Wenn der Maler schwindelfrei ist, ist das also egal.
21.11.2018, 14:33	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Außerdem kommt der Maler erst, wenn der Turmbauer fertig ist, und das kann dauern. Aber eigentlich ist ja mindestens dann Schluß, wenn die Bauelemente-Fabrik bei einem Beton-Atom angekommen ist... Zur Turmbesteigung gibt es übrigens hier ein schönes Video

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