Exponentialfunktion, Reihen

21.11.2018, 17:22

MimonBaraka

Exponentialfunktion, Reihen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \exp(x) \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$

1) Beweise $\begin{eqnarray*} \exp(x) \exp(y) = \exp(x+y) \end{eqnarray*}$ mit dem cauchyprodukt
und folgere $\begin{eqnarray*} \exp(-x) = (\exp(x) )^{-1} \end{eqnarray*}$
2) Zeige folgendes
exp(x)>0 für alle x ?R
exp ist streng monoton wachsend

Meine Ideen:
hab versucht das hier umzuformen kreigs aber nich hin
$\begin{eqnarray*} \frac{-x^{n} }{n!} = \frac{1}{\frac{x^{n} }{n!} } \end{eqnarray*}$

21.11.2018, 17:30

HAL 9000

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Zentral ist wirklich der Nachweis der ersten Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \exp(x)\cdot\exp(y) = \exp(x+y) \end{eqnarray*}$ , alles andere sind (mehr oder weniger) kleine Folgerungen daraus.

D.h., $\begin{eqnarray*} \exp(-x)=(\exp(x))^{-1} \end{eqnarray*}$ sowie 2) davon losgelöst beweisen zu wollen, ist eine Arbeit, die man sich sparen sollte.

21.11.2018, 22:36

klarsoweit

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RE: Exponentialfunktion, Reihen

Zitat:

Original von MimonBaraka
Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \exp(x) \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl: $\begin{eqnarray*} \exp(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Und dann solltest du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^k}{k!} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{y^n}{n!} \end{eqnarray*}$ mit dem Cauchyprodukt ausrechnen. Davon ist noch nichts zu sehen.

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