Volumen berechnen mit Diffeomorphismus

21.11.2018, 21:47

konrad1

Volumen berechnen mit Diffeomorphismus

Hallo,

zu berechnen ist das Volumen von $\begin{eqnarray*} (\frac{x}{a})^{\frac{2}{3}}+(\frac{y}{b})^{\frac{2}{3}}+(\frac{z}{c})^{\frac{2}{3}}=1 \end{eqnarray*}$ mit dem Hinweis dass $\begin{eqnarray*} x=arsin^3\phi cos^3 \theta ; y=brsin^3 \phi sin^3 \theta ; z=crcos^3\phi \end{eqnarray*}$ eine Koordinatentransformation gegeben sei die auf einem geeigneten Definitionsbereich ein Diffeomorphismus ist. Die Determinante muss ich auch ausrechnen nehme ich mal an.

LG

21.11.2018, 21:58

HAL 9000

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Das Volumen ist gleich Null. Meinst du nicht vielleicht eher das Volumen von

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \biggm| \left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\frac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\frac{z}{c}\right)^{\frac{2}{3}} ~{\color{red}\leq}~ 1\right\} \end{eqnarray*}$

d.h. mit $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2018, 22:05

konrad1

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Öhm ja sorry, das von der Fläche umgrenzte Volumen Hammer

Die Frage ist wie weise ich das jetzt nach, eine Determinante ausrechnen und integrieren schaffe ich früher oder später noch

LG

22.11.2018, 09:18

Ehos

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Hinweis zu Beginn:
Im Gegensatz zur Bezeichnung in der Aufgabe habe ich die beiden Parameter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ vertauscht. So erreicht man, dass beide Parameter wie bei den üblichen Kugelkoordinaten verwendet werden.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Du sollst das Volumen eines Bereiches berechnen, der durch folgende Parameterdarstellung gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \vec x(r,\phi, \theta)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cdot r\cdot \cos^3(\phi)\cdot \sin^3(\theta) \\ b\cdot r\cdot \sin^3(\phi) \cdot \sin^3(\theta) \\ a\cdot r\cdot \cos^3(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Parameter $\begin{eqnarray*} r, \phi, \theta \end{eqnarray*}$ variieren in folgenden Intervallen

$\begin{eqnarray*} 0\leq r \leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq \phi \leq 2\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq \theta \leq \pi \end{eqnarray*}$

Die Zahlen a, b, c sind fest.

Nach der allgemeinen Theorie ist das Volumen folgendes Integral

$\begin{eqnarray*} V=\int_{r=0}^1 \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi} D\,\,d\theta \, d\phi \,dr \end{eqnarray*}$

Dabei bezeichnet D die sogenannte Funktionaldeterminante, also

$\begin{eqnarray*} D=\begin{vmatrix} \tfrac{\partial x}{\partial r} & \tfrac{\partial x}{\partial \phi} & \tfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \tfrac{\partial y}{\partial r} & \tfrac{\partial y}{\partial \phi} & \tfrac{\partial y}{\partial \theta} \\ \tfrac{\partial z}{\partial r} & \tfrac{\partial z}{\partial \phi} & \tfrac{\partial z}{\partial \theta} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Berechnen dieser Determinante D ist mit etwas Rechenarbeit verbunden. Es müsste sich aber für D am Ende ein ziemlich einfacher Ausdruck ergeben, so dass das Integrieren einfach wird.

22.11.2018, 10:32

konrad1

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Hallo,

ok danke (der Teil war mir bewusst) - heisst das, bei dem Beispiel geht es dem Prof. lediglich darum sich bei einem Haufen Winkelfunktionen nicht zu verrechnen?

Wahrscheinlich soll ich noch die drei Eigenschaften des Diffeomorphismus angeben? (bijektiv, stetig differenzierbar, umkehrung stetig differenzierbar?)

LG

Konrad

22.11.2018, 10:59

konrad1

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Mir kommt zum integrieren jetzt raus: $\begin{eqnarray*} 9abcsin^5(\theta)cos^2(\theta)sin^2(\phi)cos^2(\phi) \end{eqnarray*}$

22.11.2018, 13:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von konrad1
$\begin{eqnarray*} 9abcsin^5(\theta)cos^2(\theta)sin^2(\phi)cos^2(\phi) \end{eqnarray*}$

Das sieht soweit erstmal gut aus. Freude

Zitat:

Original von konrad1
Wahrscheinlich soll ich noch die drei Eigenschaften des Diffeomorphismus angeben? (bijektiv, stetig differenzierbar, umkehrung stetig differenzierbar?)

Zu beachten ist, dass der Diffeomorphismus eine Abbildung zwischen offenen (!) Mengen ist. D.h., man betrachtet dann die oben von Ehos genannte Parameterdarstellung nicht für $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq 1,0\leq\phi\leq 2\pi,0\leq\theta\leq \pi \end{eqnarray*}$ , sondern für $\begin{eqnarray*} 0<r<1,0<\phi<2\pi,0<\theta<\pi \end{eqnarray*}$ . Und damit bildet man dann auch nicht bijektiv auf

$\begin{eqnarray*} M = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \biggm| \left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\frac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\frac{z}{c}\right)^{\frac{2}{3}} \leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

ab, aber zumindest auf eine etwas kleinere Menge, wobei die Differenz vom Lebesguemaß 0 ist. Welche Menge das genau ist, kannst du dir ja mal sorgfältig überlegen, es ist jedenfalls nicht einfach nur das Innere von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

22.11.2018, 19:26

konrad1

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Kann es sein dass ich auf mehrere Arten den Ursprung erreichen kann, so dass es dort nicht bijektiv ist?

22.11.2018, 21:41

HAL 9000

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Mit dem von mir genannten $\begin{eqnarray*} 0<r<1,0<\phi<2\pi,0<\theta<\pi \end{eqnarray*}$ erreichst du den Ursprung gar nicht. Das ist es doch, wovon ich geredet hatte - aber es ist nicht nur der Ursprung. Augenzwinkern

22.11.2018, 21:52

konrad1

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Komme ich überhaupt auf einzelne Koordinaten mit Wert 0 wenn die Mengen offen sind?

23.11.2018, 23:17

Leopold

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Zitat:

Original von konrad1
Mir kommt zum integrieren jetzt raus: $\begin{eqnarray*} 9abcsin^5(\theta)cos^2(\theta)sin^2(\phi)cos^2(\phi) \end{eqnarray*}$

Da fehlt wohl noch der Faktor $\begin{align*} r^2 \end{align*}$ .

Ich habe es ein wenig anders gemacht. Zunächst eine Vorbemerkung: Bei gebrochenen Exponenten sind negative Basen üblicherweise nicht zugelassen. Mir scheint aber hier $\begin{align*} t^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{t^2} \end{align*}$ tatsächlich auch für negative $\begin{align*} t \end{align*}$ gemeint zu sein.

Der $\begin{align*} xyz \end{align*}$ -Bereich

$\begin{align*} B: \ \ \left( \frac{x}{a} \right)^{\frac{2}{3}} + \left( \frac{y}{b} \right)^{\frac{2}{3}} + \left( \frac{z}{c} \right)^{\frac{2}{3}} \leq 1 \end{align*}$

geht mit der Substitution

$\begin{align*} x = au^3 \, , \ y = bv^3 \, , \ z = cw^3 \end{align*}$

in die $\begin{align*} uvw \end{align*}$ -Einheitskugel über. Die Funktionaldeterminante ist $\begin{align*} 27abc \, u^2 v^2 w^2 \end{align*}$ . Aus Symmetriegründen kann man sich auf den I. Oktanten beschränken, wenn man den Integralwert verachtfacht. Mit dem Bereich

$\begin{align*} B^*: \ \ u^2 + v^2 + w^2 \leq 1 \, ; \ \ u,v,w \geq 0 \end{align*}$

gilt daher

$\begin{align*} \int_B \dd (x,y,z) = 216 abc \int_{B^*} u^2 v^2 w^2 ~ \dd (u,v,w) \end{align*}$

Mir scheinen Zylinderkoordinaten ein wenig bequemer. Nach Fubini integriert man über $\begin{align*} w \in [0,1] \end{align*}$ und in Abhängigkeit davon über den $\begin{align*} uv \end{align*}$ -Bereich

$\begin{align*} \tilde{B}(w): \ \ u^2 + v^2 \leq 1 - w^2 \, ; \ \ u,v \geq 0 \end{align*}$

Insgesamt erhält man so

$\begin{align*} \int_B \dd (x,y,z) = 216 abc \int \limits_0^1 w^2 \int_{\tilde{B}(w)} u^2 v^2 ~ \dd (u,v) ~ \dd w \end{align*}$

Im inneren Integral geht man zu Polarkoordinaten über:

$\begin{align*} u = r \cos t \, , \ \ v = r \sin t \end{align*}$

und erhält

$\begin{align*} \int_{\tilde{B}} u^2 v^2 ~ \dd (u,v) = \left( \int \limits_0^{\sqrt{1-w^2}} r^5 ~ \dd r \right) \cdot \left( \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \, \cos^2 t ~ \dd t \right) \end{align*}$

Zunächst wird das zweite Integral berechnet:

$\begin{align*} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin t \, \cos t \right)^2 ~ \dd t = \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} \sin(2t) \right)^2 ~ \dd t = \frac{1}{8} \int \limits_0^{\pi} \sin^2 s ~ \dd s = \frac{1}{16} \int \limits_0^{2 \pi} \sin^2 s ~ \dd s = \frac{1}{16} \pi \end{align*}$

Den letzten Wert habe ich hier abgeschaut. Weiter ist

$\begin{align*} \int \limits_0^{\sqrt{1-w^2}} r^5 ~ \dd r = \frac{1}{6} \left( 1 - w^2 \right)^3 \end{align*}$

Und nun alles zusammengefügt:

$\begin{align*} \int_B \dd (x,y,z) = \frac{9}{4} \pi abc \int \limits_0^1 w^2 \left( 1 - w^2 \right)^3 ~ \dd w = \frac{4}{35} \pi abc \end{align*}$

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