Exakte Differentialgleichungen

Neue Frage »

TheRaunder Auf diesen Beitrag antworten »
Exakte Differentialgleichungen
Meine Frage:
Hey, ich beschäftige mich gerade mi dieser Aufgabe:

Gesucht ist eine differenzierbare Funktion y : (0, ?) ? R
mit folgender Eigenschaft: Für jeden Punkt (x, y(x)) der
zugehörigen Kurve schneidet die Tangente, welche die Kurve
in (x, y(x)) berührt, die y-Achse im Punkt (0, 2xy(x)^2).

(a) Stellen Sie eine DGL für die gesuchte Kurve auf.
(b) Zeigen Sie, dass die DGL aus (a) nach Multiplikation mit y^?2 exakt wird
(auf der Menge {(x, y) ? R^2 | y > 0}).
(c) Bestimmen Sie die gesuchte Kurve unter der zusätzlichen Bedingung y(1) = 2.

Meine Frage ist, wie ich aus den gebannten Informationen eine DGL bestimmen soll ? Schließlich brauche ich dies um die anderen Aufgaben berechnen zu können.

Meine Ideen:
Bezüglich a) stehe ich gerade auf dem Schlauch, aber was b) angeht denke ich man muss einfach eine passende stetig differenzierbare Funktion erraten, und dann zeigen, dass man die DGL, durch das ersetzten der Glieder und anschließendem Anwenden der Kettenregel lösen lässt. Nur ist diese echt zu erraten, oder gibt es einen Weg diese mathematisch zu finden.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du stellst die Tangentengleichung im Kurvenpunkt auf:



Da in dieser Überlegung als Parameter fungiert, habe ich die allgemeinen Koordinaten eines Geradenpunktes genannt. In schneidet die Tangente die -Achse. Und dieser Wert ist laut Aufgabe .
Jetzt mußt du nur noch finden und einsetzen, dann hast du die Differentialgleichung.
In (b) mußt du gar nichts erraten, der integrierende Faktor ist ja angegeben: . Du mußt nur noch nachprüfen, daß die Differentialgleichung damit exakt wird.

Zur Kontrolle: Für die Kurve habe ich herausbekommen.
TheRaunder Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Du schreibst b = 2xy(x)^2 und im darauffolgende Satz schreibst du ich soll b finden. War damit v gemeint ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. ist das, was man in der Schule -Achsenabschnitt nennt (und übrigens Steigung). Bei uns müßte das -Achsenabschnitt heißen, da ich die Koordinaten für die Geradengleichung genannt habe.

Beispiel:



In diesem Fall wäre und .

Eigentlich mußt du nur die Tangentengleichung im Punkt aufstellen, ganz so, wie man das in der Schule macht. Verwirrend sind höchstens die verdrehten Bezeichnungen: fungiert für das Aufstellen der Geradengleichung als Parameter, als Variablen der Geradengleichung. In der Schule nimmt man meist oder andere Bezeichner als Parameter und als Koordinaten für die Gerade.
TheRaunder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jetzt y' = ( y - 2xy2 ) / x raus, kann das so stimmen ?
Nun müsste ich dies mit y hoch--2 multiplizieren und dann partiell ableiten oder ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt. Jetzt schreibe und multipliziere formal mit durch, so daß du die Gleichung auf die Form



bringen kannst. Exakt heißt sie, wenn gilt (tiefgestellte Indizes für partielle Ableitungen). Das dürfte nicht der Fall sein. Dann multiplizierst du die Gleichung mit durch:



Jetzt sollte, wenn die Aufgabensteller nicht lügen, tatsächlich gelten. Es muß dann eine reellwertige Funktion gelten, so daß und gilt. Probiere ein bißchen herum, um dieses zu finden. Durch (konstant) sind dann implizit die Lösungen der Differentialgleichung gegeben. Dann muß die Konstante noch bestimmt werden (Anfangsbedingung beachten). Eventuell noch nach auflösen.

EDIT
So eindeutig ist die Sache allerdings nicht. Offenbar gehen die Aufgabensteller davon aus, daß man für und die "einfachsten" nennerfreien Darstellungen hat. Dann erst wird zum integrierenden Faktor.
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »