Mannigfaltigkeit zeigen

22.11.2018, 13:28	konrad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe die Abbildung f von (0,1)x(0,1) nach R gegeben, mit f(u,v)=(u^2, u+v, v^2) und soll zeigen dass es sich um eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit handelt. Die Matrix der Ableitungen verschwindet für die dritte Spalte (Spalte 1: 2u, 1, 0, Spalte 2:0, 1, 2v - wonach soll ich die dritte Spalte ableiten?) und die Determinante wird 0. Was soll ich in diesem Fall machen? LG Konrad Zwei Beiträge zusammenfasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen Ah Moment, ich habe zwei Vektoren, da 0 nicht im Definitionsbereich liegt bleiben immer zwei Vektoren, ich habe also Rang zwei und damit eine zweidimensionale MF? Was mache ich dann bei M aus $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 3x+3yz^2-y^3=0 \end{eqnarray}$ ?
22.11.2018, 22:00	konrad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie berechne ich, wenn ich nur eine Gleichung gegeben habe überhaupt die Determinante? Sorry für die dummen Fragen aber ich bin durchs Nebenberufliche Studium aufs Skript angewiesen, was nicht drin steht muss ich erfragen
23.11.2018, 10:07	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist folgende Parameterdarstellung einer Fläche mit den beiden Parametern u,v: $\begin{eqnarray} \vec x(u,v)=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u^2 \\ u+v \\ v^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Tangentialvektoren bezüglich beider Parameter lauten $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial u}=\begin{pmatrix} 2u \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2v \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit es sich um eine reguläre Darstellung handelt, dürfen beide Tangentialvektoren nirgends verschwinden und sie dürfen nirgends in die gleiche Richtung zeigen. Mit anderen Worten - beide Tangentialvektoren müssen an jedem Ort ein "echtes" Parallelogramm aufspannen (dessen Flächeninhalt also nicht verschwindet). Bekanntlich ist das Flächeninhaltsquadrat A² eines Parallelogrammes, das durch 2 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ aufgespannt wird, folgende Determinante $\begin{eqnarray} A^2=\begin{vmatrix} \vec a\cdot \vec a & \vec a\cdot \vec b \\ \vec b\cdot \vec a & \vec b\cdot \vec b \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Setze hier also die obigen Tangetialvektoren $\begin{eqnarray} \vec a=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b=\tfrac{\partial \vec x}{\partial v} \end{eqnarray}$ ein und prüfe, ob die Determinante im Bereich $\begin{eqnarray} 0\leq u, v\leq 1 \end{eqnarray}$ nirgends verschwindet. Das ist eine notwendige Voraussetzung für eine Mannigfaltigkeit.

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