Nullstellen der Funktionsschar fk(x) = 1/2x^2 + 2kx + k

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Jule12345 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen der Funktionsschar fk(x) = 1/2x^2 + 2kx + k
Meine Frage:
Hallo zusammen,
die Aufgabenstellung lautet:
"Untersuchen Sie, für welche k die Funktion fk zwei verschiedene Nullstellen hat. Geben Sie an, für welche k die Funktion fk keine Nullstellen hat."

Die Funktionsgleichung lautet:


Ich habe die Lösung vorliegen und auch schon bei Geogebra überprüft und weiß, dass k<0 und k>0,5 gelten muss, damit es zwei Nullstellen gibt. Aber ich verstehe nicht, wie man das rechnerisch zu Ende bringt.

Meine Ideen:
Ich habe die p-q-Formel angewendet und habe nun folgende Gleichung:



Mir ist klar, dass es dann zwei Nullstellen gibt, wenn unter der Wurzel etwas positives rauskommt. Daher:



Nun dachte ich, man könnte evtl wie beim Nullproduktsatz einmal sagen:



Zweiteres habe ich dann nach k aufgelöst und erhalten. Also dachte ich, die Lösung wäre, dass k größer Null sein müsste.

Laut Lösung (und Geogebra) muss k aber kleiner Null bzw. größer als 0.5 sein. Ich verstehe nicht ganz, wieso. Ist das mit dem Nullproduktsatz falsch und wenn ja, was muss ich stattdessen rechnen, um auch auf das negative k zu kommen?

Danke schonmal im Voraus und allen einen schönen Abend!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

k(4k-2)>0 genau dann, wenn beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind.
positiv: k>0 und 4k-2>0 genau dann, wenn k>0,5 (wegen des 2. Faktors)
negativ: k<0 und 4k-2<0 genau dann, wenn k<0 (wegen des 1. Faktors)

Grund:
Wenn ein Faktor 0 ist, ist das Produkt 0
Wenn ein Faktor positiv und der andere Faktor negativ ist, ist das Produkt negativ.
 
 
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