Warum ist die 2 dimensionale Wärmeleitungsgleichung parabolisch?

22.11.2018, 20:16	tach35	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist die 2 dimensionale Wärmeleitungsgleichung parabolisch? Meine Frage: Moin, ich kann zwar verstehen, warum die 1 dimensionale Wärmeleitungsgleichung parabolisch ist. Die 2 dimensionale müsste aber meiner Meinung nach elliptisch sein, da die Diskriminante doch größer als 0 ist. Wer kann mir dabei helfen? Vielen Dank im Voraus. Meine Ideen: ?
23.11.2018, 09:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir bezeichnen die Zeit mit $\begin{eqnarray} t=x_1 \end{eqnarray}$ und die (einzige) Ortsvariable mit $\begin{eqnarray} x=x_2 \end{eqnarray}$ . Damit lautet die lineare eindimensionale Wärmeleitungsgleichung $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial x_1}-a\tfrac{\partial ^2u}{\partial x_2}=0 \end{eqnarray}$ Zur Klassifizierung dieser Differentialgleichung verwendet man die Vektorschreibweise, indem man den Gradienten $\begin{eqnarray} \left (\tfrac{\partial }{\partial x_1},\tfrac{\partial }{\partial x_2} \right ) \end{eqnarray}$ formal wie einen Vektor behandelt $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial }{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial }{\partial x_2} \end{pmatrix} \overbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix}}^{\text{Matrix}} \begin{pmatrix} \tfrac{\partial }{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial }{\partial x_2} \end{pmatrix}u}_{\text{Ableitungen 2.Ordnung}}+\underbrace{\overbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}^{\text{Vektor}} \cdot \begin{pmatrix} \tfrac{\partial }{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial }{\partial x_2} \end{pmatrix}u}_{\text{Ableitungen 1.Ordnung}}=0 \end{eqnarray}$ Die Matrix im ersten Summanden (wo also die 2.Ableitungen auftreten) ist entscheidend zur Klassifizierung der Differentialgleichung. Bei der Wärmeleitungsgleichung ist der Matrixrang r=1 und damit gringer als die Raumdimension n=2. Deshalb ist die Gleichung parabolisch. Wäre der Matrixrang r=2 gleich der Raumdimension n=2, müsste man zur weiteren Klassifizierung die Eigenwerte dieser Matrix betrachten. Wenn beide Eigenwerte das gleiche Vorzeichen hätten, wäre die Gleichung elliptisch, anderenfalls hyperbolisch. Diese Klassifizierung ist völlig analog zur Klassifizierung von Kurven 2.Ordnung in der Geometrie (Parablen, Ellipsen, Hyperbeln usw.)
23.11.2018, 09:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@tach35 Um es aufbauend auf den Betrachtungen von Ehos kurz zu machen: Du hast in deiner Betrachtung wohl einfach die Zeitvariable "vergessen". Insgesamt haben wir bei der zweidimensionalen Wärmeleitungsgleichung dann drei Variablen zu betrachten, die Zeit sowie zwei Ortskoordinaten. Dementsprechend haben wir nicht nur eine 2x2- sondern eine 3x3-Matrix für die zweiten Ableitungen zu betrachten, und die hat eben nur Rang 2, also ebenfalls parabolische DGL.
23.11.2018, 14:44	tach35	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist die 2 dimensionale Wärmeleitungsgleichung parabolisch? Erst Mal vielen Dank für die Antwort. Verstanden habe ich es noch nicht ganz, aber ungefähr in welche Richtung es geht.

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