Generell: Konvergenz untersuchen

22.11.2018, 20:28

JG97

Generell: Konvergenz untersuchen

Wenn man eine Zahlenfolge auf Konvergenz untersuchen soll und gegebenenfalls den Grenzwert angeben soll,
1) dann gehe ich davon aus, dass wenn ich den Grenzwert angebe alles gezeigt ist, also dass sie konvergiert und was der Grenzwert ist. Ist das so?

2) angenommen sie konvergiert nicht, dann muss ich mittels Konvergenzkriterium einen Widerspruch finden?

22.11.2018, 21:06

JG97

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RE: Generell: Konvergenz untersuchen
anders gefragt:
Wenn man die Folge (n!/n^n) hat und man sagt das (n!/n^n) < (1/n) * 1 ist man dann fertig oder muss man noch was machen? Also muss ich dann z.B. noch mit dem Epsilon-Konvergenzkriterium den Grenzwert nachweisen?

22.11.2018, 21:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von JG97
anders gefragt:
Wenn man die Folge (n!/n^n) hat und man sagt das (n!/n^n) < (1/n) * 1 ist man dann fertig

Man sollte schon noch begründen, wieso man damit fertig ist. Momentan steht da nur eine durchaus richtige Ungleichung, zu beweisen ist aber eine Konvergenz.

22.11.2018, 22:21

JG97

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Okay, ich habe eben den Bruch ausgeschrieben und dann abgeschätzt < lim [1/n * (n/n)^(n-1)] = lim[1/n * 1^(n-1)] = lim[1/n * 1] = 0 * 1 = 0.
Ich denke das passt dann. smile

Viel schwieriger finde ich die hier:
[attach]48380[/attach]

Wir hatten in der Vorlesung das Sandwich Theorem und Konvergenzkriterium. Iwie muss das damit gehen denke ich.

Meine Ansätze (die bisher nichts gebracht haben) waren:
Die Folge als lim [(1/n)* (q^n) / (n-1)!)] zu schreiben und dann zu zeigen, dass (q^n) / (n-1)!) konvergiert. Hat nicht geklappt weil man q ja beliebig wählen kann und das dann ins Nirvana führt.

Dann natürlich versucht die Folge wie bei der Aufgabe drüber durch abschätzen auf eine bekannte Nullfolge zu führen (wir kennen nicht viele). Scheiterte auch, wegen dem q.

Es muss eigentlich eine recht einfache Lösung dafür geben, weil viel können wir (noch) nicht smile

Jemand einen Tipp smile

22.11.2018, 22:41

HAL 9000

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Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{q^n}{n!} \end{eqnarray*}$ lässt sich zumindest ab einem Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ durch eine geometrische Nullfolge nach oben abschätzen. Das sieht man durch Betrachtung des Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{q}{n} \end{eqnarray*}$ , denn wenn man nun $\begin{eqnarray*} n_0 \geq 2|q| \end{eqnarray*}$ wählt, so hat man $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n-1}} \right| \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

22.11.2018, 23:09

JG97

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Asooo.
Ich glaub ich verstehe es. Wenn man sich das aufschreibt, dann gibt es ja auf jeden Fall irgendwann ein n0, sodass das n0 im Nenner größer als der Betrag von q ist. Und wenn man die Folge ab diesem Glied neu definieren würde, dann könnte man doch sagen die ist
(Betrag(q)^n / Betrag(q) + n)
Und die kann mann dann relativ leicht zu Betrag(q) * 1/n abschätzen.

Vom Prinzip her habe ichs verstanden, oder?
Danke Mit Zunge

Jetzt muss ichs nur noch sauber aufschreiben und vielleicht nochmal drüber nachdenken wie das mit dem Betrag dann ist Wink

Okay die Folge ist falsch definiert, aber vom Prinzip verstehe ichs trotzdem

23.11.2018, 10:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von JG97
dann gibt es ja auf jeden Fall irgendwann ein n0, sodass das n0 im Nenner größer als der Betrag von q ist. Und wenn man die Folge ab diesem Glied neu definieren würde, dann könnte man doch sagen die ist (Betrag(q)^n / Betrag(q) + n)

Gegen Ende zu wird es wirr in der Aussage. Vielleicht willst du folgendes sagen: Ab $\begin{eqnarray*} n_0=\left\lceil |q| \right\rceil \end{eqnarray*}$ beginnt die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ betragsmäßig zu fallen, ja.

Ich hatte oben aber einen ungefähr doppelt so hohen Index vorgeschlagen, also $\begin{eqnarray*} n_0=\left\lceil 2|q| \right\rceil \end{eqnarray*}$ : Denn ab diesem Index ist gesichert, dass die Folge nicht einfach nur fällt, sondern sich in jedem Schritt mindestens halbiert. Somit wird die Folge dann von einer geometrischen Folge mit Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ majorisiert, und derartige geometrische Folgen sind ja bekanntlich Nullfolgen. Somit ist unsere Folge dann auch eine Nullfolge.

Einfach nur streng monoton fallend (wie mit $\begin{eqnarray*} n_0=\left\lceil 2|q| \right\rceil \end{eqnarray*}$ erreichbar) reicht nicht als Nachweis für eine Nullfolge:

So ist beispielsweise auch $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{n+1}{2n} \end{eqnarray*}$ eine streng monoton fallende positive Folge, aber mitnichten eine Nullfolge.

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