Beweis zu Bilinearform und Unabhängigkeit von Vektoren

23.11.2018, 07:53

Snexx_Math

Beweis zu Bilinearform und Unabhängigkeit von Vektoren

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe an der ich nicht weiterkomme:

Sei V ein endl.-dim. K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} s: V \times V \rightarrow K \end{eqnarray*}$ eine K-Bilinearform auf V. Zeigen Sie, dass , wenn für Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ aus V, die Matrix $\begin{eqnarray*} M:= \Big ( (s(v_i,v_j) \Big )_{i,j=1}^n \end{eqnarray*}$ invertierbar ist , dann sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ lin. unabh.

Mein Ansatz war jetzt zuerst dann mittels der Eigenschaft :
$\begin{eqnarray*} det(M)\neq 0 \end{eqnarray*}$ zu arbeiten. Bin von da aus aber auch nicht weiter gekommen. Dann hatte ich die Idee damit zu arbeiten , dass M vollen Rang hat, dies hat mir dann für einzelne aber längst nicht alle Vektoren lineare Unabhängigkeit geliefert. Jetzt weiß ich nicht , ob ich komplett falsch bin , oder ob nur einer der Ansätze falsch weitergedacht wurde.

Ich bräuchte mal ein wenig Aufklärung. Tipps sind sehr willkommen.

LG

Snexx_Math

23.11.2018, 15:03

URL

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RE: Beweis zu Bilinearform und Unabhängigkeit von Vektoren
Nimm an, $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ wäre eine Linearkombination der übrigen Vektoren. Dann addiere entsprechende Spalten von S zur ersten Spalte von S

23.11.2018, 16:50

Snexx_Math

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RE: Beweis zu Bilinearform und Unabhängigkeit von Vektoren

Zitat:

Original von URL
Nimm an, $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ wäre eine Linearkombination der übrigen Vektoren. Dann addiere entsprechende Spalten von S zur ersten Spalte von S

Angenommen es sei $\begin{eqnarray*} v_1=\lambda_2 \cdot v_2+...+\lambda_n\cdot v_n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} s(v_1,v_j)=s(\lambda_2 \cdot v_2+...+\lambda_n\cdot v_n ,v_j)=\lambda_2\cdot s( v_2,v_j)+...+\lambda_n \cdot s(v_n,,v_j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall j \in \{1,..,n\} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann, dass die erste Zeile einer Linearkombination aller anderen Zeilen ist.
Dies ist aber ein Widerspruch , dann dann die Matrix nicht mehr vollen Rang hat , also nicht mehr invertierbar ist.

Führt man dies so fort für die restlichen Vektoren $\begin{eqnarray*} v_2,...,v_n \end{eqnarray*}$ erhält man, dass alle Vektoren lin. unabh. sind .

Richtig ?

Und danke für den Tipp Augenzwinkern

23.11.2018, 19:13

URL

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RE: Beweis zu Bilinearform und Unabhängigkeit von Vektoren
Ja, richtig. Das kann man jetzt für die anderen Vektoren machen oder man sagt, dass oBdA v_1 eine Linearkombination der übrigen ist - was man durch Vertauschung immer erreichen kann.

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