Minimalpolynom bestimmen

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jules156 Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom bestimmen
Meine Frage:
Für wobei p Primzahl ist und
primitive p-te Einheitswurzel soll das minimalpolynom bestimmt werden.

Meine Ideen:
Kreisteilungspolynome sind so im allgemeinen nicht bekannt, ich muss so ein Polynom g(x) finden für das g(w)=0 ist und das irreduzibel ist.
Ich könnte die Darstellung eines Kreisteilungspolynom für primzahlen von wiki bspw. übernehmen und zeigen das dafür g(w)=0 ist aber dann muss ich zumindest noch die Irreduzibilität zeigen, was ohne die Kenntnis der Kreisteilungspolynome erstmal nicht so direkt klar ist.
Ist also hier irgendwie ein anderer Weg möglich?
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

1) Für die Bestimmung eines Polynoms , sodass , ist die geometrische Summenformel und hilfreich.

2) Um die Irreduzibilität des in 1) bestimmten Polynoms zu zeigen, reicht es zu zeigen, dass irreduzibel ist (warum?)
Um die Irreduzibilität von letzterem zu zeigen, kann man anschauen, wie sich das Polynom unter der Substitution verhält. Irgendwann muss man dann noch verwenden, dass eine Primzahl ist...
jules156 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort, mit 1) habe ich genau das Polynom herleiten können Freude

Bei der Irreduzibilität komme ich leider noch nicht weiter verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jules156
Bei der Irreduzibilität komme ich leider noch nicht weiter

Der diesbezügliche Tipp von NurEinGast zielt wohl auf das Eisensteinkriterium ab.
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreibe erst mal, was das Polynom ist. smile

Bei der Irreduzibilität musst du mir sagen, wo du feststeckst. Was genau verstehst du nicht? Schon den Ansatz? Was hast du versucht?
jules156 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Polynom ist

An das Eisensteinkriterium habe ich auch gedacht, aber unser Polynom hat nur Koeffizienten von 1 und dafür macht das irgendwie keinen Sinn verwirrt
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Sorgfältig L E S E N !!!
NurEinGast hat nicht von , sondern gesprochen.
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann reden wir von demselben Polynom. Freude

Gehe jetzt wie folgt vor:

- Die Abbildung , die durch und definiert wird, ist ein Ringautomorphismus.
Ist dir klar, dass genau dann irreduzibel ist, wenn irreduzibel ist? Wenn nein, beweise es.

- Nach der geometrischen Summenformel haben wir jetzt . Bereche jetzt auf zwei Arten (d.h. nutze, dass ein Ringhomomorphismus ist). Dann hilft der binomische Lehrsatz - wenn du ihn auf der richtigen Seite der Gleichung anwendest, ist es nicht mal so schlimm. Augenzwinkern
jules156 Auf diesen Beitrag antworten »

So sollte die Berechnung aussehen: (so wurde es in meiner Mitschrift gemacht, ich denke etwas anders als du es machen wolltest aber gleiches prinzip?)


und der Rest folgt mit Eisensteinkriterium also g(X+1) irred. also g(X) irred.
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast schon eine Mitschrift? verwirrt

Einige Anmerkungen:

- Was soll bedeuten?

- Ich mag es nicht, Brüche von Polynomen zu schreiben, weil man à priori kein Polynom als Ergebnis kriegt (Divison ist im Polynomring nicht definiert). Arbeite lieber mit der eindeutigen Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Elemente.

- Das "Der Rest folgt mit dem Eisensteinkriterium" sollte man natürlich noch ausführen, weil hier entscheidend eingeht, dass prim ist. Des Weiteren kann man das Eisensteinkriterium nur anwenden, wenn man ein ganzzahliges Polynom hat, was hier der Fall ist. Das heißt, dass irreduzibel ist. Wieso ist dann auch in irreduzibel?
jules156 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja deine Äquivalenz hatten wir als Beobachtung und dann so etwas ähnliches.

Also genau unser Polynom g(x).
Begründung für Eisenstein wäre

Bei der letzten Frage würde ich auf Körpererweiterung tippen, bin mir aber nicht sicher verwirrt
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus.

Zur letzten Frage: Da kann man einfach das Lemma von Gauß bemühen. Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jules156
Begründung für Eisenstein wäre

Die letzten beiden sollten wohl eher



heißen. unglücklich
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