Ungleichung zeigen mit e-Term

23.11.2018, 11:41	michitert	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung zeigen mit e-Term Meine Frage: Hi, ich möchte formal $\begin{eqnarray} 0 < 1-e^{-x} <x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall x>0 \end{eqnarray}$ zeigen. Meine Ideen: Ich habe schon versucht argumentativ zu sagen, dass es nur einen Schnittpunkt der Funktionen in x=0 gibt und beide monoton steigend sind und da x in einem punkt x>0 größer ist also für alle aber das ist mir nicht schön genug für einen Beweis. Die erste Ungleichheit habe ich schon gezeigt. Tipps? Danke
23.11.2018, 12:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung zeigen mit e-Term Mittelwertsatz schöner?
23.11.2018, 13:05	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung zeigen mit e-Term Um den Hinweis auf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung noch etwas ausführlicher darzulegen: Nimm die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = e^{-x} \end{eqnarray}$ und zeige $\begin{eqnarray} e^{-x} > 1-x \end{eqnarray}$
23.11.2018, 14:39	michitert	Auf diesen Beitrag antworten »
Wollt ihr auf den Ansatz $\begin{eqnarray} \exists x_{0} \in \left(0,x\right) : -e^{-x_{0}}=\frac{e^{-x}-1}{x} \end{eqnarray}$ hinaus?
23.11.2018, 14:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das ist der Plan. Das $\begin{eqnarray} -e^{-x_0} \end{eqnarray}$ kannst du nun nach unten abschätzen.
23.11.2018, 15:34	michitert	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach unten kann ich ja fast nur $\begin{eqnarray} -e^{-x_{0}}-1<-e^{-x_{0}} \end{eqnarray}$ oder noch mit minus x abschätzen..
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25.11.2018, 11:48	michitert	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder was für eine Abschätzung ist weiterführend?
25.11.2018, 12:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -e^{-x_0}>-1 \end{eqnarray}$

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