Funktionen auf Messbarkeit untersuchen

23.11.2018, 14:41	bearniva	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen auf Messbarkeit untersuchen Meine Frage: Hallo! Ich stehe gerade vor einer Aufgabe wo ich nicht weiter komme: Seien $\begin{eqnarray} X = \left\{1,2,3,4\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon = \left\{\left\{1,2\right\}\left\{2,3,4\right\} \right\} \end{eqnarray}$ . a) Bestimmen Sie die von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -erzeugte $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ b) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen $\begin{eqnarray} f : X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \sigma(\epsilon) - \sigma(O^1) \end{eqnarray}$ bi) $\begin{eqnarray} f(x) = (x-3)^2 \end{eqnarray}$ bii) $\begin{eqnarray} f(x) = \| x - \frac{7}{2}\| \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für Aufgabe a) habe ich folgende Lösung: $\begin{eqnarray} \sigma(\epsilon) = \left\{ \left\{\emptyset \right\}, \left\{1\right\}, \left\{2\right\} ,\left\{3,4\right\} ,\left\{ 1,2\right\}, \left\{1,3,4\right\} , \left\{2,3,4\right\}, \left\{X\right\} \right\} \end{eqnarray}$ bei b komme ich nicht weiter.. Ich denke, dass jedes Urbild meiner Funktion aus der Sigma-Algebra sein muss. Stimmt das überhaupt bzw. wie prüfe ich hier die Messbarkeit?
07.09.2020, 20:03	Reddguard	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra hat einen kleinen Fehler: Anstatt $\begin{eqnarray} \{\emptyset\} \end{eqnarray}$ sollte $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ enthalten sein. Messbarkeit bedeutet hier, dass für alle Menge $\begin{eqnarray} A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(A) \in \sigma(e) \end{eqnarray}$ . Die erste Funktion ist nicht $\begin{eqnarray} (\sigma(e),\mathcal{B}(\mathbb{R})) \end{eqnarray}$ -messbar, da z.B. die Menge $\begin{eqnarray} \{0\} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ das Urbild $\begin{eqnarray} f^{-1}(\{0\})=\{3\} \end{eqnarray}$ besitzt, was nicht in $\begin{eqnarray} \sigma(e) \end{eqnarray}$ ist. Die zweite Funktion ist $\begin{eqnarray} (\sigma(e),\mathcal{B}(\mathbb{R})) \end{eqnarray}$ -messbar, was wir sehen, wenn wir uns die Werte von der zweiten Funktion angucken. Die Werte sind $\begin{eqnarray} \frac{5}{2},\,\frac{3}{2},\,\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Egal welche Kombinationen dieser drei Zahlen in einer Menge $\begin{eqnarray} A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ sind, das Urbild ist stets in $\begin{eqnarray} \sigma(e) \end{eqnarray}$ .

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