Bilinearform ~ Mengenbeweis

23.11.2018, 16:57	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform ~ Mengenbeweis Hallo zusammen, bei folgender Aufgabe benötige ich nur noch Hilfe bei einer letzten Folgerung. Aufgabe: Wir betrachten den $\begin{eqnarray} \mathbb R - Vektorraum V = M_n(\mathbb R) \end{eqnarray}$ . Man zeige: Sei $\begin{eqnarray} V_+=\{A \in V \mid A^T=A \} \end{eqnarray}$ der Untervektorraum aller symmetrischen und $\begin{eqnarray} V_-=\{ A \in V \mid A^T=-A \} \end{eqnarray}$ der Untervektorraum aller schiefsymmetrischen Matrizen. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} V=V_+ \oplus V_- , V_+^\perp = V_- , V_-^\perp = V_+ \end{eqnarray}$ Ich habe bereits bewiesen, dass: $\begin{eqnarray} V_+^\perp = V_- , V_-^\perp = V_+ \end{eqnarray}$ gilt. Aber hänge nun dabei fest, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} V=V_+ \oplus V_- \end{eqnarray}$ Das kann doch garnicht so schwer sein. Vielleicht vergesse ich auch gerade ne Kleinigkeit, die mir das sofort gibt. Ich hatte auch schon vermutet , dass es vielleicht direkt aus den anderen beiden Gleichheiten folgt. Wie zeige ich das jetzt ? Ich denke mal, dass man sich nicht ein Element aus der einen Menge nimmt und zeigt , dass es auch in der anderen Menge liegt. LG Snexx_Math
23.11.2018, 18:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A = \frac{1}{2} ( A + A^T) + \frac{1}{2} ( A - A^T) \end{eqnarray}$
26.11.2018, 06:50	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh das sieht ja gut aus Ist es damit nicht schon gezeigt ? Die Gleichung stimmt immer und man sieht schnell ein aus welchen Mengen $\begin{eqnarray} 0,5 \cdot (A-A^T) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0,5 \cdot (A+A^T) \end{eqnarray}$ kommen .
26.11.2018, 08:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil nur die Nullmatrix symmetrisch und antisymmetrisch ist, folgt aus der Formel, dass V die direkte Summe ist. Die Sache mit der Orthogonalität hast du ja schon gezeigt. Würdest du mir bitte verraten, wie das geht ? (Ist das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} <A,B>=\sum_{i,j=1}^na_{ij}b_{ij} \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n^2} \end{eqnarray}$ gemeint ? Dann kann man das leicht nachrechnen.)
26.11.2018, 16:57	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist die Bilinearform $\begin{eqnarray} \Phi(A,B)=Spur(A\cdot B) \end{eqnarray}$
26.11.2018, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist bekanntermaßen 0, wenn A symmetrisch und B antisymmetrisch. Wer es nicht weiß, rechnet es eben aus.
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