Abbildungen von Teilmenge auf Komplement (Formel aufstellen)

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Schelly207 Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen von Teilmenge auf Komplement (Formel aufstellen)
Meine Frage:
Hallo,
vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei V=U+T (U sei Komlement von T) ein endlich-dimensionaler Vektorraum und p:V->U die Projektion auf U in Richtung T. Außerdem sei X ein beliebiger Unterreaum von V.
Geben Sie eine Formel an, die es gestattet dim p(X) aus dim(X) und dim (X geschnitten T) zu berechnen.

Meine Ideen:
Mein Ansatz bis jetzt:

Zunächst sei p(X) eine Abbildung p:X->U.

Da V und somit auch X endlich-dimensional ist, gilt nach der Rangformel:
dim p(X) = dim(X) - def (p(X)).

Der Kern von p:V->U ist ja T, also muss der Kern von p:X->U eine Teilmenge von T sein.

Meine Vermutung ist, dass der Kern von p(X) gleich (X geschnitten T) ist, aber ich weiß nicht, wie ich das mathematisch begründen soll oder ob ich mit der Annahme komplett falsch liege.

Danke im Vorraus.
Schelly207
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RE: Abbildungen von Teilmenge auf Komplement (Formel aufstellen)
Du vermutest schon richtig. Formal kann man die Abbildung q definieren als Einschränkung von p auf den Unterraum X. Dann ist offensichtlich . Das kannst du bei Bedarf auf die übliche Weise zeigen: Die linke Seite ist Teilmenge der rechten und umgekehrt
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