Dimensionsformel

24.11.2018, 10:24

erstsemester

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Dimensionsformel

Hallo zusammen,

nun beschäftige ich mich mit der DImensionsformel . Hierzu eine Aufgabenstellung mit meinem Lösungsansatz. Vielleicht könntet Ihr mir auch einen Hinweis geben, ob es mit dem Basisergänzungssatz auch funktioniert und wenn wie.

Vielen Dank vorab für eure Bemühungen. Freude

Freude

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionaler K-Vektorraum, und $\begin{eqnarray*} H_{1}\neq H_{2} \end{eqnarray*}$ zwei Untervektorräume von Dimension $\begin{eqnarray*} dim(H_{i})=n-1 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie mit der Dimensionsformel, dass $\begin{eqnarray*} dim(H_{1}\cap H_{2})=n-2 \end{eqnarray*}$ gilt und geben Sie dasfür ein explizites Beispiel im Anschauungsraum $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung:

Sei $\begin{eqnarray*} V=K^n \end{eqnarray*}$ ein endlich-dim. Vektorraum, weiterhin $\begin{eqnarray*} H_{1},H_{2}\subseteq\mathbb{K}^3 \end{eqnarray*}$ Untervektorräume.

So liegen auch Durchschnitt $\begin{eqnarray*} H_{1}\cap H_{2}\subseteq V=K^n \end{eqnarray*}$ und die Addition $\begin{eqnarray*} H_{1}+H_{2}\subseteq V \end{eqnarray*}$ .

Das $\begin{eqnarray*} V=K^n \end{eqnarray*}$ endlich-dim. gilt die Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} dim(H_{1})+dim(H_{2})=dim(H_{1}+H{2})+dim(H_{1}\cap H_{2}) \end{eqnarray*}$

Das für die linke Seite der Dimensionsformel gilt: $\begin{eqnarray*} dim(H_{1})+dim(H_{2})=(n-1)+(n-1)=2n-2 \end{eqnarray*}$

Folgt aus der Gleichheit, dass rechte Seite : $\begin{eqnarray*} 2n-2= dim(H_{1}+H{2})+dim(H_{1}\cap H_{2}) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} H_{1}+H_{2}\subseteq V\Rightarrow n-1 < dim(H_{1}+H_{2})\leq dim(V=K^n)=n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} dim(H_{1}+H_{2})=n \end{eqnarray*}$

Aus der Umformung erhält man dann:

$\begin{eqnarray*} dim(H_{1}\cap H_{2})=2n-2- dim(H_{1}+H_{2})=2n-2-n=(2n-n)+2=n-2 \end{eqnarray*}$

Herzlichen Dank für eure Unterstützung,

LG Erstsemester

24.11.2018, 11:04

Elvis

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RE: Dimensionsformel

Zitat:

Original von erstsemester
Addition $\begin{eqnarray*} H_{1}+H_{2}\subseteq V \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} H_{1}+H_{2}\subseteq V \end{eqnarray*}$ heißt Summe von $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von erstsemester
Da $\begin{eqnarray*} H_{1}+H_{2}\subseteq V\Rightarrow n-1 \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} dim(H_{1}+H_{2})\leq dim(V=K^n)=n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} dim(H_{1}+H_{2})=n \end{eqnarray*}$

Das ist der Knackpunkt im Beweis. Warum gilt hier $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ und nicht nur $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von erstsemester
Da $\begin{eqnarray*} H_{1}+H_{2}\subseteq V\Rightarrow n-1<dim(H_{1}+H_{2})\leq dim( \end{eqnarray*}$ V=K^n $\begin{eqnarray*} )=n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} dim(H_{1}+H_{2})=n \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht, es $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein beliebiger $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimesnionaler $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

24.11.2018, 11:18

erstsemester

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RE: Dimensionsformel
Hallo Elvis,

die kleinste Dimension haben die angegebenen UVR $\begin{eqnarray*} dim(H_{1}),dim(H_{2})=n-1 \end{eqnarray*}$

also müsste in meiner Ausführung $\begin{eqnarray*} H_{1}+H_{2}\subseteq V\Rightarrow n-1\leq dim(H_{1}+H_{2}) \end{eqnarray*}$

aber wie mache ich dann weiter?

24.11.2018, 11:21

Elvis

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Dann machst du gar nicht weiter, denn das ist der Knackpunkt. Big Laugh

Big Laugh

Der Beweis steht und fällt damit, du musst also beweisen dass hier zurecht < steht.
Tipp: Überlege dir am Beispiel $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , woran das liegt und übertrage die Idee dann auf den allgemeinen Fall.

24.11.2018, 12:29

erstsemester

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ich versuche es einmal für den Spezialfall $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ :

Für den Fall $\begin{eqnarray*} n=3\Rightarrow dim(H_{i})=n-1=3-1=2 \end{eqnarray*}$ ist der UVR eine Ebene. Gilt dann $\begin{eqnarray*} dim(H_{1}+H_{2})=4 \neq 3 =dim(\mathbb{R}^3) \end{eqnarray*}$ --> WIderspruch.

Die SUmme der Dimension zweier Ebenen kann nicht größer sein, als die Dimension des Vektorraumes V, in dem sie liegen.

Ganz dusselige Frage [Latex}H_{1}\neq H_{2}[/Latex] bedeutet doch nur, dass die UVR nicht identisch sind. Ein gemeinsamer Durchschnitt wird nicht zwangsläufig ausgeschlossen?

24.11.2018, 12:53

Elvis

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Stimmt alles, die Summe von Untervektorräumen ist ein Untervektorraum, der liegt im Vektorraum, also kann die Dimension einer Summe nicht größer als die Dimension des Vektorraums sein. Die "dusselige Frage" ist die alles entscheidende intelligente Frage. Könntest du dir zwei Ebenen durch den Nullpunkt im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ vorstellen, die leeren Durchschnitt haben ? Der Nullpunkt liegt in jedem UVR, also kann der Durchschnitt gar nicht leer sein. Vielleicht erinnerst du dich aus dem schulischen Geometrieunterricht daran, wie der Durchschnitt zweier verschiedener nichtparalleler Ebenen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ aussieht. Verschieden sind sie ja nach Voraussetzung, parallel sind sie nicht, weil der Nullpunkt in beiden enthalten ist.

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24.11.2018, 14:13

erstsemester

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der Durchschnitt zweier Ebenen, die nicht kongruent sind, ist eine Schnittgerade.

Diese soll dann einfach im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ eingezeichnet werden, natürlich inkl. zwei "orthogonal" zu einander stehende Ebenen.

Aber Erinnerungen aus der Schulzeit sind etwas dürftig, da diese schon sehr viele Jahre zurückliegt. traurig

traurig

Wie bekomme ich denn diesen Sachverhalt noch in meine Beweisführung eingebaut?

24.11.2018, 14:22

Elvis

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Alle Ebenen im Raum sind kongruent. Zwei verschiedene Ebenen durch den Nullpunkt müssen nicht orthogonal zueinander sein. Der Durchschnitt von 2 nichtparallelen Ebenen ist immer eine Gerade (Dimension 1).

Bezug zur Aufgabe: E und F zwei verschiedene Ebenen (jeweils Dimension 3-1=2) durch den Nullpunkt, dann gibt es ein x in F, das nicht in E liegt. Also ist die Dimension von E+F grösser als 2. Das ist genau das Argument, das du brauchst, um den Beweis zu führen.

24.11.2018, 21:40

erstsemester

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Danke dir Elvis, damit komme ich nun weiter.

24.11.2018, 21:48

Elvis

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Das freut mich sehr. Wenn du voran kommst, lese ich gerne noch einmal Korrektur, damit alles richtig ist.
Du hattest auch nach Basisergänzung gefragt. Das x in meinem letzten Posting ergänzt eine Basis von E zu einer Basis des R^3.

25.11.2018, 11:36

erstsemester

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Guten Morgen,

jetzt versuche ich meine Beweisführung zu komplettieren:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionaler und damit endlicher Vektorraum (kurz VR), weiterhin $\begin{eqnarray*} H_{1},H_{2}\subseteq V \end{eqnarray*}$ , dann sind auch $\begin{eqnarray*} H_{1}\cap H_{2}\subseteq V, H_{1}+H_{2}\subseteq V \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ endlich-dim. folgt mit der Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} dim(H_{1})+dim(H_{2})=dim(H_{1}+H_{2})+dim(H_{1}\cap H_{2}) \end{eqnarray*}$

Da für die UVR gilt $\begin{eqnarray*} H_{1}\neq H_{2} \Rightarrow {x \in H_{1} \not\in H_{2}} \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} n-1=dim(H_{i}) < dim(H_{1}+H_{2})\leq dim(K^n)=n \Rightarrow dim(H_{1}+H_{2})=n \end{eqnarray*}$

Durch Einsetzen in die Dimensionsformel und Umformen ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} dim(H_{1}\cap H_{2})==dim(H_{1})+dim(H_{2})-dim(H_{1}+H_{2})=(n-1)+(n-1)-(n)=2n-2-n=n-2 \end{eqnarray*}$

Im Anschauungsraum $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^3 \Rightarrow n=3 \end{eqnarray*}$ , woraus folgt, dass die Dimension $\begin{eqnarray*} dim(H_{1}\cap H_{2})=n-2=3-2=1 \end{eqnarray*}$ eine Gerade im Anschauungsraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist.

Ein Explizites Beispiel ist dann die Ursprungsgerade $\begin{eqnarray*} y=\lambda \cdot (0, 0 ,1) \end{eqnarray*}$

25.11.2018, 12:12

Elvis

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Ein Beweis einer Behauptung muss immer so aussehen:
Behauptung : xxx
Beweis : xxx q.e.d.
Damit wird ein Beweis wesentlich präziser und prägnanter, weil man nicht alle Voraussetzungen unordentlich wiederholen muss, die sauber in der Behauptung stehen.

$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionaler $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum, $\begin{eqnarray*} H_1\ne H_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ -dimensionale UVRe von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Durchschnitt und Summe sind nicht nur Teilmengen $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ , sondern UVRe $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Dimensionsformel ist in Ordnung, du solltest sie aber erst aufschreiben wenn du sie benötigst, also nach der nächsten Zeile.

$\begin{eqnarray*} H_1\ne H_2\Rightarrow \exists x\in H_1,x\notin H_2\Rightarrow n=1+(n-1)=dim[\{x\}\cup H_2]\le dim(H_1+H_2) \le dim(V)=n\Rightarrow dim(H_1+H_2)=n \end{eqnarray*}$

Die Berechnung der Dimension des Durchschnitts ist in Ordnung.

Das explizite Beispiel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist bei dir nicht explizit. Besser: Je 2 verschiedene Ebenen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , die den Nullpunkt enthalten, schneiden sich in einer Geraden, die den Nullpunkt enthält.

25.11.2018, 14:11

erstsemester

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also hier würde ich zwei der Koordinatenebenen auswählen:

$\begin{eqnarray*} E_{1}=x+y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{2}=y+z \end{eqnarray*}$

Somit die Ursprungsgeraden $\begin{eqnarray*} g: x=z \end{eqnarray*}$

25.11.2018, 18:02

Elvis

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Meine Aussage "Je 2 verschiedene Ebenen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , die den Nullpunkt enthalten, schneiden sich in einer Geraden, die den Nullpunkt enthält." ist ein allgemeines Beispiel für die umfassend bewiesene Tatsache, dass folgendes gilt: "Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionaler $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum, $\begin{eqnarray*} H_1\ne H_2 \end{eqnarray*}$ seien UVRe von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der Dimension $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} dim(H_1\cap H_2)=n-2 \end{eqnarray*}$ ."

Warum bist du so kleinlich, nur ein einziges Beispiel angeben zu wollen ? Wenn du schon so kleinlich bist, darfst du es nicht auch noch falsch machen. Seit wann ist $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ eine Ebene ? Wenn das Ebenen wären, so wären es keine klassischen Koordinatenebenen. Noch schlimmer: $\begin{eqnarray*} g\equiv x=z \end{eqnarray*}$ ist keine Gerade sondern eine Ebene. unglücklich

unglücklich

25.11.2018, 19:13

erstsemester

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@Elvis: kleinlich möchte ich selbstverständlich nicht sein, aber ein Beispiel für eine Schnittgerade zweier Koordinatenebenen würde ausreichen... ich nehme aber auch gerne ein allgemeingültiges Beispiel.

Also zwei Koordinatenebenen sind doch:

$\begin{eqnarray*} E_{1,2}: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{2,3}: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann liegt doch die Schnittgerade z.B. auf der Koordinantenachse.

Wie sieht denn ein allgemeingültiges Beispiel aus?

25.11.2018, 20:05

Elvis

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Ja, auch diese Ebenen schneiden sich in der y-Achse. Allgemein: Jeweils 2 verschiedene 2-dimensionale UVRe des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ schneiden sich in einem 1-dimensionalen UVR.

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