Dimensionsformel |
24.11.2018, 10:24 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dimensionsformel nun beschäftige ich mich mit der DImensionsformel . Hierzu eine Aufgabenstellung mit meinem Lösungsansatz. Vielleicht könntet Ihr mir auch einen Hinweis geben, ob es mit dem Basisergänzungssatz auch funktioniert und wenn wie. Vielen Dank vorab für eure Bemühungen. Sei ein -dimensionaler K-Vektorraum, und zwei Untervektorräume von Dimension . Zeigen Sie mit der Dimensionsformel, dass gilt und geben Sie dasfür ein explizites Beispiel im Anschauungsraum . Meine Lösung: Sei ein endlich-dim. Vektorraum, weiterhin Untervektorräume. So liegen auch Durchschnitt und die Addition . Das endlich-dim. gilt die Dimensionsformel Das für die linke Seite der Dimensionsformel gilt: Folgt aus der Gleichheit, dass rechte Seite : Da , so dass Aus der Umformung erhält man dann: Herzlichen Dank für eure Unterstützung, LG Erstsemester |
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24.11.2018, 11:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Dimensionsformel
heißt Summe von und
Das ist der Knackpunkt im Beweis. Warum gilt hier und nicht nur ?
Das stimmt nicht, es ein beliebiger -dimesnionaler -Vektorraum. |
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24.11.2018, 11:18 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Dimensionsformel Hallo Elvis, die kleinste Dimension haben die angegebenen UVR also müsste in meiner Ausführung aber wie mache ich dann weiter? |
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24.11.2018, 11:21 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann machst du gar nicht weiter, denn das ist der Knackpunkt. Der Beweis steht und fällt damit, du musst also beweisen dass hier zurecht < steht. Tipp: Überlege dir am Beispiel , woran das liegt und übertrage die Idee dann auf den allgemeinen Fall. |
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24.11.2018, 12:29 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich versuche es einmal für den Spezialfall : Für den Fall ist der UVR eine Ebene. Gilt dann --> WIderspruch. Die SUmme der Dimension zweier Ebenen kann nicht größer sein, als die Dimension des Vektorraumes V, in dem sie liegen. Ganz dusselige Frage [Latex}H_{1}\neq H_{2}[/Latex] bedeutet doch nur, dass die UVR nicht identisch sind. Ein gemeinsamer Durchschnitt wird nicht zwangsläufig ausgeschlossen? |
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24.11.2018, 12:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stimmt alles, die Summe von Untervektorräumen ist ein Untervektorraum, der liegt im Vektorraum, also kann die Dimension einer Summe nicht größer als die Dimension des Vektorraums sein. Die "dusselige Frage" ist die alles entscheidende intelligente Frage. Könntest du dir zwei Ebenen durch den Nullpunkt im vorstellen, die leeren Durchschnitt haben ? Der Nullpunkt liegt in jedem UVR, also kann der Durchschnitt gar nicht leer sein. Vielleicht erinnerst du dich aus dem schulischen Geometrieunterricht daran, wie der Durchschnitt zweier verschiedener nichtparalleler Ebenen im aussieht. Verschieden sind sie ja nach Voraussetzung, parallel sind sie nicht, weil der Nullpunkt in beiden enthalten ist. |
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24.11.2018, 14:13 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
der Durchschnitt zweier Ebenen, die nicht kongruent sind, ist eine Schnittgerade. Diese soll dann einfach im eingezeichnet werden, natürlich inkl. zwei "orthogonal" zu einander stehende Ebenen. Aber Erinnerungen aus der Schulzeit sind etwas dürftig, da diese schon sehr viele Jahre zurückliegt. Wie bekomme ich denn diesen Sachverhalt noch in meine Beweisführung eingebaut? |
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24.11.2018, 14:22 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Alle Ebenen im Raum sind kongruent. Zwei verschiedene Ebenen durch den Nullpunkt müssen nicht orthogonal zueinander sein. Der Durchschnitt von 2 nichtparallelen Ebenen ist immer eine Gerade (Dimension 1). Bezug zur Aufgabe: E und F zwei verschiedene Ebenen (jeweils Dimension 3-1=2) durch den Nullpunkt, dann gibt es ein x in F, das nicht in E liegt. Also ist die Dimension von E+F grösser als 2. Das ist genau das Argument, das du brauchst, um den Beweis zu führen. |
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24.11.2018, 21:40 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke dir Elvis, damit komme ich nun weiter. |
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24.11.2018, 21:48 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das freut mich sehr. Wenn du voran kommst, lese ich gerne noch einmal Korrektur, damit alles richtig ist. Du hattest auch nach Basisergänzung gefragt. Das x in meinem letzten Posting ergänzt eine Basis von E zu einer Basis des R^3. |
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25.11.2018, 11:36 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Guten Morgen, jetzt versuche ich meine Beweisführung zu komplettieren: Sei ein -dimensionaler und damit endlicher Vektorraum (kurz VR), weiterhin , dann sind auch Da endlich-dim. folgt mit der Dimensionsformel Da für die UVR gilt also ist Durch Einsetzen in die Dimensionsformel und Umformen ergibt sich: Im Anschauungsraum , woraus folgt, dass die Dimension eine Gerade im Anschauungsraum ist. Ein Explizites Beispiel ist dann die Ursprungsgerade |
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25.11.2018, 12:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein Beweis einer Behauptung muss immer so aussehen: Behauptung : xxx Beweis : xxx q.e.d. Damit wird ein Beweis wesentlich präziser und prägnanter, weil man nicht alle Voraussetzungen unordentlich wiederholen muss, die sauber in der Behauptung stehen. ist ein -dimensionaler -Vektorraum, -dimensionale UVRe von . Durchschnitt und Summe sind nicht nur Teilmengen , sondern UVRe von . Dimensionsformel ist in Ordnung, du solltest sie aber erst aufschreiben wenn du sie benötigst, also nach der nächsten Zeile. Die Berechnung der Dimension des Durchschnitts ist in Ordnung. Das explizite Beispiel im ist bei dir nicht explizit. Besser: Je 2 verschiedene Ebenen im , die den Nullpunkt enthalten, schneiden sich in einer Geraden, die den Nullpunkt enthält. |
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25.11.2018, 14:11 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also hier würde ich zwei der Koordinatenebenen auswählen: Somit die Ursprungsgeraden |
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25.11.2018, 18:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Meine Aussage "Je 2 verschiedene Ebenen im , die den Nullpunkt enthalten, schneiden sich in einer Geraden, die den Nullpunkt enthält." ist ein allgemeines Beispiel für die umfassend bewiesene Tatsache, dass folgendes gilt: "Sei ein -dimensionaler -Vektorraum, seien UVRe von der Dimension . Dann gilt ." Warum bist du so kleinlich, nur ein einziges Beispiel angeben zu wollen ? Wenn du schon so kleinlich bist, darfst du es nicht auch noch falsch machen. Seit wann ist eine Ebene ? Wenn das Ebenen wären, so wären es keine klassischen Koordinatenebenen. Noch schlimmer: ist keine Gerade sondern eine Ebene. |
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25.11.2018, 19:13 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Elvis: kleinlich möchte ich selbstverständlich nicht sein, aber ein Beispiel für eine Schnittgerade zweier Koordinatenebenen würde ausreichen... ich nehme aber auch gerne ein allgemeingültiges Beispiel. Also zwei Koordinatenebenen sind doch: Dann liegt doch die Schnittgerade z.B. auf der Koordinantenachse. Wie sieht denn ein allgemeingültiges Beispiel aus? |
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25.11.2018, 20:05 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, auch diese Ebenen schneiden sich in der y-Achse. Allgemein: Jeweils 2 verschiedene 2-dimensionale UVRe des schneiden sich in einem 1-dimensionalen UVR. |
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