Zwei normalverteilte Zufallsvariablen nicht multivariat-normalverteilt?

Neue Frage »

Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei normalverteilte Zufallsvariablen nicht multivariat-normalverteilt?
Hallo zusammen,

ich möchte auf den Wikipedia Artikel eingehen hier (Die Randverteilung der mehrdimensionalen Normalverteilung).

Ich halte die Aussage am Ende für falsch:

Zitat:
X 1 und X 2 sind nach Definition nicht unabhängig, da X 2
immer gleich ± X 1 ist. Daher ist insbesondere X := ( X 1 , X 2) nicht multivariat normalverteilt.


Ich sehe keinen Widerspruch, dass zwei Zufallsvariablen, die Kovarianz Null haben, auch unabhängig sein müssen, obwohl sie offentsichtlich nicht unabhängig sind. Siehe englischen Wikipedia hier (vorallem der letzte Satz):

Zitat:
In general, random variables may be uncorrelated but statistically dependent. But if a random vector has a multivariate normal distribution then any two or more of its components that are uncorrelated are independent. This implies that any two or more of its components that are pairwise independent are independent. But, as pointed out just above, it is not true that two random variables that are (separately, marginally) normally distributed and uncorrelated are independent.


Kann mir das jemand bestätigen? Der Post ist rein für das gute Gewissen smile .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
Ich sehe keinen Widerspruch, dass zwei Zufallsvariablen, die Kovarianz Null haben, auch unabhängig sein müssen, obwohl sie offentsichtlich nicht unabhängig sind.

Was auch immer du hier sagen willst, du drückst dich äußerst unglücklich aus.

Durch Rechnung kann man überprüfen, dass bei multivariaten Normalverteilungen aus der Unkorreliertheit der Komponenten auch ihre Unabhängigkeit folgt. Wenn wir also wie im Beispiel zwei normalverteilte Größen haben, die zwar unkorreliert, aber nicht unabhängig sind, so kann das nur bedeuten, dass sie nicht beide Komponenten desselben multivariat normalverteilten Vektors sind. Tatsächlich sind in dem Wikipediabeispiel nicht mal zweidimensional stetig verteilt, denn ihre Verteilung konzentriert sich offensichtlich auf dem eindimensionalen Diagonalenkreuz

.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es wird ja gesagt, dass sie per Definition nicht unabhängig sind und demnach nicht multivariat Gauss verteilt sind. Daher muss ja vorher der Schluss da sein, das sie unabhängig sind. Aus der Kovarianz aber zu schliessen, wir sind multivariat Gauss verteilt und dann unabhängig, ist verkehrt. Ich denke, es müsste heißen, wenn nun aus der Kovarianz geschlossen wird, dass wir eine multivariate Gauss verteilte ZV haben, eben mit der entsprechenden Kovarianz, folgt aus der Unkorreliertheit die Unabhängigkeit, daher ist die Annahme, sie sei multivariat Gauss verteilt ist, genauer zu prüfen. So herum smile

Ich meine, Argumente auszulassen ist kein guter Stil. Mich freut es ja, dass du dir dieser Tatsache bewusst bist.

Gut, ich habe selber gelernt, dass es möglich ist zwei einfach normalverteilte ZV zu haben, die abhängig sind, aber nicht multivariat Gauss verteilt. Deswegen ist mein Titel etwas ungünstig. Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
Naja, es wird ja gesagt, dass sie per Definition nicht unabhängig sind und demnach nicht multivariat Gauss verteilt sind.

Es gibt durchaus Multivariat Gaussverteilte Vektoren mit abhängigen Komponenten - nämlich immer dann, wenn die Kovarianz ungleich Null ist. Insofern ist deine in diesem letzten Halbsatz geäußerte Logik fehlerhaft. unglücklich

--------------------------------------------------------

Nochmal zusammengefasst: Betrachten wir zwei normalverteilte Zufallsgrößen und die drei Eigenschaften

1) Sie sind Komponenten ein- und desselben multivariat normalverteilten Vektors,

2) Sie sind unkorreliert,

3) Sie sind abhängig,

dann können maximal zwei der drei Eigenschaften zugleich gelten (aber möglicherweise auch nur eine), aber niemals alle drei:

1)+2): Multivariate Normalverteilung mit Kovarianz Null.

1)+3): Multivariate Normalverteilung mit Kovarianz ungleich Null.

2)+3): Wikipedia-Beispiel mit .
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

dieser Halbsatz ist ja nicht von mir... es ist nur das zusammengefasst, was im ersten Zitat von mir bemängelt wird.

Ließ das Zitat.

Deinem Erklärung mit Kopfschütteln sagt mir nur, dass du den Sachverhalt, den ich bemängele, nicht verstanden hast.

Bitte lies alles noch einmal.

Mir geht es nicht um das, was längst bewiesen ist. Mir geht es um die Erklärung im Gesamten. Diese ist so wie sie dasteht falsch, denn sie lässt eine Sachverhalt aus und das ist Beweistechnisch ungünstig. Würdest diesen Schritt verstehen, wenn du nicht wüsstest, dass Unkorreliertheit und Unabhängigkeit im multivariaten Gaussfall äquivalent sind?

Da dies als Erklärung/Beweis gedacht ist, sollte man aber nichts weglassen. Ich weiß Mathematiker machen das gern, weil sie mit ihrem Wissen gerne hausieren gehen, das nützt dem Leser der es genau wissen will nichts. Ich weiß ja, das Wikipedia nicht die beste Quelle ist, trotzdem ist es ein Nachschlagewerk für den, der es wissen möchte. Wie wäre es wir verbessern Wikipedia?

Grüße smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
dieser Halbsatz ist ja nicht von mir... es ist nur das zusammengefasst, was im ersten Zitat von mir bemängelt wird.

Du hast ihn geäußert, das ist das was für mich zählt. Ich kämpf mich nicht durch einen langen Originaltext nur um festzustellen, ob du da Sachverhalte richtig wiedergegeben oder doch sinnentstellt hast.

Zitat:
Original von Romaxx
Ließ das Zitat.

Was soll ich lassen? Erstaunt1

EDIT: Zumindest den Abschnitt "Die Randverteilung der mehrdimensionalen Normalverteilung" in dem langen Wikipedia-Artikel habe ich sorgfältig durchgelesen und stelle fest, dass dort mit Ausnahme der etwas wackligen Definition von (genaueres in diesen frischen Thread) alles sachlich richtig ist - im Gegensatz zu Teilen deiner "Zusammenfassung" oben. Ich halte daher deine Falschheitsvorwürfe für vollkommen haltlos - solltest du einen anderen Abschnitt in dem insgesamt langen Artikel "Mehrdimensionale Normalverteilung" meinen, dann benenne ihn nochmal genau.
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Romaxx, in dem Zitat steht nicht, dass aus der Abhängigkeit folgt, dass keine multivariate Normalverteilung vorliegt. Du hast das Zitat nur völlig aus dem Zusammenhang gerissen.

Direkt vor der von dir zitierten Stelle steht: Demnach ist die Kovarianz [...] von X_1 und X_2 gleich 0 genau dann, wenn p_1=p_2=1/2. Aber X_1 und X_2 sind nach Definition nicht unabhängig [...]

Das ist m.E. tatsächlich so formuliert, dass man die Folgerung nicht versteht, wenn man den von HAL erwähnten Zusammenhang nicht kennt, falsch ist es aber nicht. Die Folgerung, dass (X_1,X_2) nicht normalverteilt ist, geschieht aufgrund der beiden letzten Sätze, nicht nur aufgrund des letzten.


Ich gebe dir ein vergleichbares Beispiel:

ist eine beschränkte reelle Folge. Wegen Zusammenhang blablabla ist außerdem monoton, also konvergent.

Wenn mich jetzt jemand so zitiert:

Zitat:
Wegen Zusammenhang blablabla ist monoton, also konvergent.


Dann sehe ich plötzlich wieder wie ein Studienanfänger aus.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein EDIT hat sich wohl mit deinem Beitrag überkreuzt...

Ich verstehe immer noch nicht, wo Romaxx ein Problem sieht. Es sei denn, er versteht nicht, warum im Wikipedia-Beispiel Abhängigkeit vorliegt, das hatte ich hier ja versucht

Zitat:
Original von HAL 9000
Tatsächlich sind in dem Wikipediabeispiel nicht mal zweidimensional stetig verteilt, denn ihre Verteilung konzentriert sich offensichtlich auf dem eindimensionalen Diagonalenkreuz

.

nochmal deutlich zu machen. Wenn noch Erklärungsbedarf in punkto Abhängigkeit in diesem Beispiel besteht, bitte melden.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12,

du sagst es ja, dass man den Schritt nicht nachvollziehen kann, wenn man die Äquivalenz nicht kennt.

Dieser Abschnitt ist als Beweis/Erklärung gedacht. Daher kann ich nichts aus dem Zusammenhang reißen, denn ein Beweis ist vollständig zu führen, sonst ist er falsch.

In dem gesamten Abschnitt und auch Wiki-Artikel steht nichts von dieser Äquivalenz, wo reiße ich etwas aus dem Zusammenhang?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Fakt ist, dass eine Schlussweise wie die

Zitat:
Original von Romaxx
Naja, es wird ja gesagt, dass sie per Definition nicht unabhängig sind und demnach nicht multivariat Gauss verteilt sind.

dort nicht steht, auch nicht sinngemäß. unglücklich


Wenn du das ganze richtig wiedergegeben hättest, in etwa so

Zitat:
Naja, es wird ja gesagt, dass sie per Definition unkorreliert und nicht unabhängig sind und demnach nicht multivariat Gauss verteilt sind.

dann würde es auch stimmen. Ich denke, das wollte Guppi12 mit seinem Grenzwertbeispiel sagen.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

ich kann den Schritt nicht anders verstehen, wenn ich die Äquivalenz nicht kenne.

Der Zusatz unkorreliert bringt gar nichts, die Aussage stimmt ohne das Wissen der Äquivalenz auch dann nicht. Was willst du mir denn sagen?

Du brauchst nicht für Guppi12 in die Presche springen... er kann auch sehr gut für sich selber argumentieren.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
Der Zusatz unkorreliert bringt gar nichts, die Aussage stimmt ohne das Wissen der Äquivalenz auch dann nicht.

Aber natürlich bringt er was: Die Aussage

Zitat:
Naja, es wird ja gesagt, dass sie per Definition unkorreliert und nicht unabhängig sind und demnach nicht multivariat Gauss verteilt sind.

ist richtig, während

Zitat:
Original von Romaxx
Naja, es wird ja gesagt, dass sie per Definition nicht unabhängig sind und demnach nicht multivariat Gauss verteilt sind.

falsch ist, das habe ich doch oben klar am Beispiel demonstriert: Jede multivariate Normalverteilung mit Kovarianz ungleich Null widerlegt diese deine Aussage - warum bist du so verbohrt, das nicht einzusehen? unglücklich
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz einfach, weil Beweistechnisch die Sachlage anders aussieht...

Wieso willst du das nicht verstehen... Wenn du Mathematiker an der Uni bist, ist das erste, was du lernst, das Beweise rigoros sein müssen. Hier wird aber ein Sachverhalt verschwiegen. Und das hat nichts mit Kontext zu tun, es handelt sich um einen Beweis, basta.

Die Aussage

Zitat:
Naja, es wird ja gesagt, dass sie per Definition unkorreliert und nicht unabhängig sind und demnach nicht multivariat Gauss verteilt sind.


ist Beweistechnisch nicht richtig, weil man ohne das Wissen der Äquivalenz

Unkorreliert <=> Unabhängig (im multivariaten Gaussfall)

falsche Schlussforgerungen macht.

Das ist das was ich als falsch deklariere und ich bin überzeugt, dass ein halbwegs vernünftiger Mensch verstehen kann, was mein Punkt ist.

Ich kann ja den genannten Abschnitt hier her kopieren und wir gehen ihn einzeln durch, dann siehst du das die Erklärung/Beweis nicht hinreichend ist. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterscheidung "falsch" von "nicht verstanden" musst du noch lernen
Zitat:
Original von Romaxx
Unkorreliert <=> Unabhängig (im multivariaten Gaussfall)

kann man sich ganz einfach aus der Dichte der multivariaten Normalverteilung herleiten. Du hast das nicht getan und bezeichnest deshalb das obige "Beweistechnisch nicht richtig" - eine solche Denkweise ist grober Unfug: Nur weil du ein paar Einzelschritte nicht verstehst, ist doch der Beweis nicht falsch. Du hast dich einfach nicht genügend angestrengt. unglücklich

Vielleicht versuchst du es das nächste Mal mit einer defensiveren Wortwahl in deiner Anfrage, also sowas wie "ich verstehe diesen Schritt nicht" statt des ziemlich überheblich anmaßenden "diese Aussage ist falsch".

Und wenn du meinst, dass die Begründung in der Wikipedia besser erläutert werden sollte, dann bleibt dir unbenommen, das als Autor zu tun.

Zitat:
Original von Romaxx
Ich kann ja den genannten Abschnitt hier her kopieren und wir gehen ihn einzeln durch, dann siehst du das die Erklärung/Beweis nicht hinreichend ist. smile

Aber gern. Aber diesmal ohne Verstümmelungen.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ganz einfach aus der Dichte der multivariaten Normalverteilung herleiten


Ist das deine Antwort, wenn du Studenten hast? Ich glaube nicht.. die Antwort wäre vielmehr:

Und jetzt leite ich aus der Dichte der multivariaten Normalverteilung die Äquivalenz:

Unkorreliert <=> Unabhängig (im multivariaten Gaussfall),

her, um, zu zeigen dass... (oder lasse das die Studenten selber zeigen).

Der Sachverhalt steht da einfach nicht, und das dies eine Besonderheit der multivariaten Gaußverteilung ist, ist IMO notwendig zu erwähnen, das ist das Wesen einer Beweisführung.

Traurig genug, das dies in dem gesamten Artikel auf Wikipedia nicht zu Sprache kommt.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

HAL 9000 versteh mich nicht falsch.

Ich zweifele nicht an der Aussage dieses Beispiels, wenn man es besser ausführt.

Mir geht es um die Tatsache, wann ein Beweis eine Beweis ist.

Wikipedia ist ein Enzyklopädie, was soviel heisst wie (von Wikipedia):

Eine Enzyklopädie, früher auch aus dem Französischen: Encyclopédie (griechisch ..., „Grundausbildung, allgemeine Erziehung“), ist ein besonders umfangreiches Nachschlagewerk. Der Begriff Enzyklopädie soll auf Ausführlichkeit oder eine große Themenbreite hinweisen, wie beispielsweise bei einem Menschen, dem enzyklopädisches Wissen nachgesagt wird. Es wird eine Zusammenfassung des gesamten Wissens dargestellt.

Dieser Anspruch ist für diesen Abschnitt nicht erfüllt.

Ich werde dies als Eintrag ändern.

Danke für die Diskussion.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
Traurig genug, das dies in dem gesamten Artikel auf Wikipedia nicht zu Sprache kommt.

Soso:

Zitat:
https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Normalverteilung , gleich erster Abschnitt

Die mehrdimensionale Normalverteilung hat die folgenden Eigenschaften:

Sind die Komponenten von X paarweise unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig.

Die andere Richtung ist stochastisches Allgemeinwissen:

Zitat:
Sind zwei Zufallszahlen unabhängig und besitzen beide eine Varianz (man spricht da auch von "quadratisch integierbar"), so sind sie auch unkorreliert.

Da das nichts primär mit Normalverteilung zu tun hat, ist es im Artikel womöglich nicht nochmal extra erwähnt. Und da diese andere Richtung in der obigen Argumentation aber auch gar nicht benötigt wird, fällt dieser Grund, sich evtl. wieder aufzuregen, schon mal weg. Augenzwinkern



P.S.: Ich habe keine Studenten, da ich nicht in der Lehre tätig bin.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da das nichts primär mit Normalverteilung zu tun hat, ist es im Artikel womöglich nicht nochmal extra erwähnt. Und da diese andere Richtung in der obigen Argumentation aber auch gar nicht benötigt wird, fällt dieser Grund, sich evtl. wieder aufzuregen, schon mal weg. Augenzwinkern


Absolut richtig, wer regt sich darüber auf?

Zitat:
https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Normalverteilung , gleich erster Abschnitt Die mehrdimensionale Normalverteilung hat die folgenden Eigenschaften: Sind die Komponenten von X paarweise unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig.


Na Gott sei dank smile , habe ich nicht gründlich genug gesucht, sonst hätte ich auch dass als Vorschlag dem Wikipedia Artikel hinzugefügt.

Du kannst jetzt mein Verbesserungsvorschlag auf Wiki bewundern Wink .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du damit glücklicher bist, meinen Segen hast du. Brauchst du nur noch den des Wikipedia-Sichters, denn das bin ich nicht. smile
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Tanzen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens, nach all der Wikipedia-Schelte: Du kannst froh sein, dass dieses schöne Beispiel überhaupt dort da steht.

Ich hab in meiner Schulzeit (weit vor Wikipedia und Internet) noch falsch kennengelernt:

"normal + unkorreliert -> unabhängig" ohne den Hinweis, dass dies multivariate Verteilung voraussetzt

In den meisten Büchern ist das auch kein Thema, da dort immer gleich mit der multivariaten Normalverteilung aufgeschlagen wird - die Möglichkeit, dass die Randverteilungen normal sein können, der Vektor selbst aber nicht normal sein muss, wird da schlicht nicht angeschnitten. Sehr, sehr spät (immer noch bevor es Wikipedia gab) habe ich dann erst mitgekriegt, dass dem nicht so sein muss.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben Wikipedia revolutioniert, siehe den neuen umgeschriebenen Abschnitt Freude
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »